Question

Найдите наименьшее натуральное число n, при котором число (n^2+n)(n^2+5n+6) делится на 2000

Answer 1

Разложим на множители  левую часть
 (n²+n)(n²+5n+6)=n(n+1)(n+2)(n+3)

число 2000=2·1000=2·100·10 =2·2·2·2·5·5·5
 значит мы должны иметь в произведении три пятерки и четыре двойки

n=5·5·5=125 - наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условию
n+1=126=2·53  - одна двойка
n+3=125+3=128=2⁷-  для выполнения условия двоек даже с избытком.
Ответ n=125

Answer 2

Для нахождения наименьшего натурального числа n, при котором число (n^2+n)(n^2+5n+6) делится на 2000, мы можем использовать подход, основанный на факторизации числа 2000.

Факторизация числа 2000

Для начала, давайте разложим 2000 на простые множители. Это поможет нам понять, какие числа могут делиться на 2000.

2000 = 2^4 * 5^3

Таким образом, мы видим, что число 2000 содержит в себе множитель 2 в степени 4 и множитель 5 в степени 3.

Факторизация выражения (n^2+n)(n^2+5n+6)

Теперь давайте разложим выражение (n^2+n)(n^2+5n+6) на множители и посмотрим, какие факторы из числа 2000 у нас будут.

(n^2+n)(n^2+5n+6) = n(n+1)(n+2)(n+3)

Мы получили разложение выражения на множители.

Деление на 2000

Теперь давайте посмотрим на факторы числа 2000 и попробуем найти наименьшее натуральное число n, при котором все эти факторы будут присутствовать в разложении выражения (n^2+n)(n^2+5n+6).

Исходя из разложения (n^2+n)(n^2+5n+6), мы видим, что нам нужно, чтобы все факторы числа 2000 присутствовали в разложении. То есть, у нас должны быть множители 2^4 и 5^3.

Мы знаем, что множители 2 и 5 будут присутствовать в разложении, так как они содержатся в множителях (n+2) и (n+3). Однако, чтобы получить множитель 2^4, нам нужно, чтобы множитель 2 встречался в разложении еще два раза.

Таким образом, мы можем предположить, что n должно быть достаточно большим, чтобы предоставить нам два множителя (n+1) и (n+2), которые содержат множитель 2.

Поиск наименьшего n

Давайте попробуем различные значения для n, начиная с 1, и проверим, удовлетворяет ли разложение (n^2+n)(n^2+5n+6) условиям.

При n = 1, разложение будет:

(1^2+1)(1^2+5*1+6) = 2 * 12 = 24

Разложение не содержит достаточное количество множителей 2 для деления на 2000.

Продолжая проверку для больших значений n, мы можем найти наименьшее натуральное число, при котором условие выполняется.

При n = 6, разложение будет:

(6^2+6)(6^2+5*6+6) = 42 * 72 = 3024

Разложение содержит достаточное количество множителей 2 для деления на 2000.

Таким образом, наименьшее натуральное число n, при котором число (n^2+n)(n^2+5n+6) делится на 2000, равно 6.