Question

Log1/5 (х-2)≥ -2 как решить

Answer 1

$OD3:\\x-2\ \textgreater \ 0=\ \textgreater \ x\ \textgreater \ 2;0\ \textless \ \frac{1}{5}\ \textless \ 1\\log_\frac{1}{5}(x-2)\geq-2\\x-2\leq25\\x\leq27\\\begin{cases}x\ \textgreater \ 2\\x\leq27\end{cases}=\ \textgreater \ 2\ \textless \ x\leq27\\OTBET:x\in(2;27]$

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы можем использовать логарифмические свойства и алгебраические преобразования. Давайте рассмотрим каждый шаг подробно.

Шаг 1: Избавление от логарифма Начнем с преобразования неравенства, чтобы избавиться от логарифма. Мы знаем, что log_a(b) = c эквивалентно a^c = b, где a - основание логарифма, b - аргумент логарифма, и c - значение логарифма. В данном случае, у нас есть log(1/5)(x - 2) ≥ -2. Мы можем записать это в виде (1/5)^(x - 2) ≥ e^(-2), где e - основание натурального логарифма.

Шаг 2: Преобразование оснований Чтобы избавиться от логарифма, мы преобразуем обе стороны неравенства, используя свойство эквивалентных логарифмических уравнений. В данном случае, мы возведем обе стороны неравенства в степень (5/1), чтобы избавиться от логарифма в левой части. Это дает нам (1/5)^(x - 2) ≥ e^(-2) в виде (1/5)^(x - 2)^(5/1) ≥ e^(-2)^(5/1).

Шаг 3: Упрощение Возведение в степень (5/1) упрощает левую часть неравенства и дает нам (1/5)^((x - 2) * (5/1)) ≥ e^(-2 * (5/1)).

Шаг 4: Упрощение дальше Далее, мы можем упростить (x - 2) * (5/1) как 5(x - 2), и -2 * (5/1) как -10. Таким образом, у нас есть (1/5)^(5(x - 2)) ≥ e^(-10).

Шаг 5: Преобразование неравенства Для решения неравенства, мы применяем логарифмические свойства и преобразовываем его в эквивалентное логарифмическое уравнение. В данном случае, мы применим логарифм по основанию (1/5) к обеим сторонам неравенства. Это дает нам log((1/5)^(5(x - 2))) ≥ log(e^(-10)).

Шаг 6: Упрощение дальше Продолжая упрощение, мы можем использовать свойство логарифма log_a(b^c) = c * log_a(b) для упрощения левой стороны. Это дает нам (5(x - 2)) * log(1/5) ≥ -10 * log(e).

Шаг 7: Вычисление логарифмов Мы можем использовать численные значения логарифмов для дальнейшего упрощения. log(1/5) примерно равен -1.6094, и log(e) равен 1.

Шаг 8: Упрощение дальше Подставив значения логарифмов, мы получаем 5(x - 2) * (-1.6094) ≥ -10 * 1. Упрощая это выражение, мы получаем -8.047(x - 2) ≥ -10.

Шаг 9: Решение уравнения Решим уравнение -8.047(x - 2) ≥ -10. Для этого сначала упростим его, разделив обе стороны на -8.047 и меняя направление неравенства (так как мы делим на отрицательное число). Это дает нам x - 2 ≤ -10 / -8.047.

Шаг 10: Упрощение дальше Делим -10 на -8.047, и получаем приблизительное значение 1.2434. Таким образом, у нас есть x - 2 ≤ 1.2434.

Шаг 11: Решение неравенства Чтобы решить неравенство x - 2 ≤ 1.2434, мы добавляем 2 к обеим сторонам, чтобы избавиться от -2. Это дает нам x ≤ 1.2434 + 2.

Шаг 12: Упрощение окончательного ответа Складываем 1.2434 и 2, и получаем приблизительное значение 3.2434. Таким образом, окончательным решением неравенства log(1/5)(x - 2) ≥ -2 является x ≤ 3.2434.

Ответ: x ≤ 3.2434