Question

Показательное неравенство, помогите решить

Answer 1

$1 \leq 7^{x-3}<49\\\\7^0 \leq 7^{x-3}<7^2$

т.к. 7>1, значит знаки неравенств сохраняются и для степеней
$0 \leq x-3<2\\ 3 \leq x<5$

Answer 2

Показательное неравенство

Показательное неравенство - это неравенство, в котором переменная возводится в степень. Для решения показательных неравенств необходимо использовать свойства показательных функций и алгебраические преобразования.

Решение показательного неравенства

Дано показательное неравенство: \(log_3^2x-10log_3x\geq-21\).

Для начала, определим область допустимых значений переменной \(x\). Из исходного неравенства видно, что логарифмы определены только для положительных значений переменной \(x\). Таким образом, \(x>0\).

Далее, преобразуем исходное неравенство:

\[log_3^2x-10log_3x\geq-21\]

Используем свойство логарифма \(log_a^m=log_a^n\Rightarrow m=n\):

\[2log_3x-10log_3x\geq-21\]

Упростим выражение:

\[-8log_3x\geq-21\]

Теперь применим свойство логарифма \(log_a^b=log_a^c\Rightarrow b=c\):

\[log_3x=\frac{-21}{-8}\]

Вычислим значение правой части:

\[\frac{-21}{-8}=\frac{21}{8}\]

Теперь найдем значение \(x\) из уравнения \(log_3x=\frac{21}{8}\). Используем определение логарифма: \(log_3x=\frac{21}{8}\) эквивалентно \(3^{\frac{21}{8}}=x\).

Вычислим значение \(x\):

\[x=3^{\frac{21}{8}}\]

Таким образом, решением показательного неравенства \(log_3^2x-10log_3x\geq-21\) при условии \(x>0\) является \(x=3^{\frac{21}{8}}\) [[2]](https://umschool.net/library/matematika/logarifmicheskie-uravneniya-i-neravenstva/).

Пример решения показательного неравенства

Давайте рассмотрим пример для лучшего понимания.

Пусть дано показательное неравенство: \(log_2^3x-2log_2x\geq-4\).

1. Определяем область допустимых значений переменной \(x\). В данном случае, так как логарифмы определены только для положительных значений переменной \(x\), имеем \(x>0\).

2. Преобразуем исходное неравенство:

\[3log_2x-2log_2x\geq-4\]

Упростим выражение:

\[log_2x\geq-4\]

3. Применяем свойство логарифма \(log_a^b=log_a^c\Rightarrow b=c\):

\[x=2^{-4}\]

Вычисляем значение правой части:

\[2^{-4}=\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}\]

4. Таким образом, решением показательного неравенства \(log_2^3x-2log_2x\geq-4\) при условии \(x>0\) является \(x=\frac{1}{16}\).

Обратите внимание: Решение показательного неравенства может включать несколько шагов и использование различных свойств показательных функций. В каждом конкретном случае необходимо внимательно анализировать и применять соответствующие свойства для получения правильного решения.