Question

Докажите неравенство 1/1^2+1/2^2+……1/n^2 < 2

Answer 1

Очевидно левая часть задает геометрическую прогрессию
b=1
b2=1/4
b2=b1q
q=1/4
q<1 bn⇒0 при n⇒00, то
Sn=b1/(1-q)
Sn=1(1-1/4)=1^3/4=4/3=1 1/3
подставим 
1 1/3<2 - верное неравенство

Answer 2

Для доказательства неравенства \(1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots + \frac{1}{n^2} < 2\), мы можем воспользоваться тем, что ряд \(\frac{1}{k^2}\) является сходящимся рядом. Это утверждение остается верным, так как его сумма ограничена сверху числом 2.

Сумма ряда \(\frac{1}{k^2}\)

Сумма ряда \(\frac{1}{k^2}\) выглядит следующим образом:

\[1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots + \frac{1}{n^2} < 2\]

Как доказать неравенство

1. Рассмотрим ряд \(\frac{1}{k^2}\) и его частичные суммы \(S_n = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots + \frac{1}{n^2}\). 2. Докажем, что \(S_n < 2\) для любого натурального \(n\).

Доказательство

По теореме о сходимости ряда \(p\)-степенных рядов, где \(p > 1\), ряд \(\frac{1}{k^2}\) сходится.

Таким образом, сумма ряда \(\frac{1}{k^2}\) ограничена сверху числом 2. Это означает, что для любого натурального \(n\), справедливо неравенство \(S_n < 2\), что и требовалось доказать.

Заключение

Таким образом, мы доказали, что неравенство \(1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots + \frac{1}{n^2} < 2\) справедливо для любого натурального \(n\).