Question

Найти вторую производную функции: y= cos(1+x²)

Answer 1

-2(sin(x^2 +1) + 2*x^2 * cos(x^2 +1)

Answer 2

Для того чтобы найти вторую производную функции y = cos(1 + x^2), мы должны дважды продифференцировать ее по переменной x.

Нахождение первой производной:

Для начала найдем первую производную этой функции. Первая производная функции y = cos(1 + x^2) может быть найдена с использованием правила дифференцирования сложной функции (chain rule).

Начнем с внешней функции, которая является косинусом. Правило дифференцирования косинуса гласит, что производная косинуса функции равна отрицательной синусу этой функции, умноженному на производную этой функции:

dy/dx = -sin(1 + x^2) * (d(1 + x^2)/dx)

Теперь продифференцируем внутреннюю функцию (1 + x^2) по переменной x. Правило дифференцирования суммы гласит, что производная суммы равна сумме производных:

d(1 + x^2)/dx = d(1)/dx + d(x^2)/dx = 0 + 2x = 2x

Подставляя это обратно в выражение для первой производной, получим:

dy/dx = -sin(1 + x^2) * 2x = -2x * sin(1 + x^2)

Нахождение второй производной:

Для того чтобы найти вторую производную, мы продифференцируем уже найденную первую производную по переменной x.

d²y/dx² = d/dx(-2x * sin(1 + x^2))

Воспользуемся правилом дифференцирования произведения функций:

d/dx(f(x) * g(x)) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)

Применив это правило к нашей функции, получим:

d²y/dx² = d/dx(-2x) * sin(1 + x^2) + (-2x) * d/dx(sin(1 + x^2))

d/dx(-2x) = -2

d/dx(sin(1 + x^2)) = cos(1 + x^2) * d/dx(1 + x^2) = cos(1 + x^2) * (d(1)/dx + d(x^2)/dx) = cos(1 + x^2) * (0 + 2x) = 2x * cos(1 + x^2)

Подставляем все обратно в выражение для второй производной:

d²y/dx² = -2 * sin(1 + x^2) + (-2x) * 2x * cos(1 + x^2) = -2sin(1 + x^2) - 4x^2cos(1 + x^2)

Таким образом, вторая производная функции y = cos(1 + x^2) равна -2sin(1 + x^2) - 4x^2cos(1 + x^2).