Question

Записать уравнение касательной к графику функции в точке x0: f(x)=2cosx, x0=П/2

Answer 1

F(π/2)=2*0=0
f`(x)=-sinx
f`(π)=-
Y=-(x-π/)=-x+π/

Answer 2

Для записи уравнения касательной к графику функции в точке \( x_0 \), нужно использовать производную функции. Давайте начнем с нахождения производной функции \( f(x) = 2\cos(x) \), а затем используем эту производную для определения уравнения касательной в точке \( x_0 = \frac{\pi}{2} \).

Нахождение производной функции

Функция \( f(x) = 2\cos(x) \) имеет производную \( f'(x) \), которую мы можем найти, применяя правило дифференцирования для функции \(\cos(x)\), которое гласит, что производная \(\cos(x)\) равна \(-\sin(x)\). Таким образом, производная функции \( f(x) \) равна:

\[ f'(x) = -2\sin(x) \]

Уравнение касательной

Уравнение касательной к графику функции в точке \( x_0 \) можно записать в виде:

\[ y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) \]

где \( f(x_0) \) - значение функции в точке \( x_0 \), а \( f'(x_0) \) - значение производной в точке \( x_0 \).

Подстановка значений

Теперь, подставим \( x_0 = \frac{\pi}{2} \) в функцию \( f(x) = 2\cos(x) \), чтобы найти значение функции в точке \( x_0 \):

\[ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cdot 0 = 0 \]

Теперь, найдем значение производной в точке \( x_0 = \frac{\pi}{2} \):

\[ f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -2 \cdot 1 = -2 \]

Запись уравнения касательной

Используя полученные значения, уравнение касательной примет вид:

\[ y - 0 = -2(x - \frac{\pi}{2}) \]

Или в более простом виде:

\[ y = -2x + \pi \]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции \( f(x) = 2\cos(x) \) в точке \( x_0 = \frac{\pi}{2} \) равно \( y = -2x + \pi \).