Question

Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 2, а сумма следующих четырёх ее членов 162. Найдете четвертый член этой прогрессии.

Answer 1

$b_1+b_2+b_3+b_4=2, \\ b_5+b_6+b_7+b_8=162,\\ Sn= \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}, \\ S_4=\frac{b_1(1-q^4)}{1-q}=2, \\ S_{5\div8}=\frac{b_5(1-q^4)}{1-q}=\frac{b_1q^4(1-q^4)}{1-q}=S_4q^4=162, \\ 2q^4=162, \\ q^4=81, \\ \left [ {{q=-3,} \atop {q=3;}} \right. \\ \left [ {{\frac{b_1(1-(-3)^4)}{1-(-3)}=2,} \atop {\frac{b_1(1-3^4)}{1-3}=2;}} \right. \left [ {{-20b_1=2,} \atop {40b_1=2;}} \right. \left [ {{b_1=-0,1,} \atop {b_1=0,05;}} \right.$
$\left [ {{b_4=-0,1\cdot(-3)^3,} \atop {b_4=0,05\cdot3^3}} \right. \left [ {{b_4=2,7,} \atop {b_4=1,35.}} \right.$

Answer 2

Пусть первый член геометрической прогрессии равен а, а знаменатель прогрессии равен q. Тогда сумма первых четырех членов прогрессии равна:

S4 = a + aq + aq^2 + aq^3 = a(1 + q + q^2 + q^3)

Также известно, что сумма следующих четырех членов прогрессии равна 162:

S8 = aq^4 + aq^5 + aq^6 + aq^7 = aq^4(1 + q + q^2 + q^3) = 162

Теперь мы можем поделить одно уравнение на другое, чтобы избавиться от неизвестной а:

S8 / S4 = q^4 = 162 / 2 q^4 = 81 q = 3

Теперь, когда мы знаем значение q, мы можем найти первый член прогрессии:

a + 3a + 9a + 27a = 2 40a = 2 a = 2 / 40 a = 1/20

Наконец, мы можем найти четвертый член прогрессии:

aq^3 = (1/20) * 3^3 = (1/20) * 27 = 27/20

Итак, четвертый член геометрической прогрессии равен 27/20.