Question

Решить: (1+tgx)/(1-tgx)=(cosx+sinx)/(cosx-sinx)

Answer 1

Упрощаем левую часть выражения, начнем с числителя дроби
1+tgx=1+sinx/cosx=(cosx+sinx)/cosx
Работаем со знаменателем дроби:
1-tgx=1-sinx/cosx=(cosx-sinx)/cosx
(cosx+sinx)/cosx делим на (cosx-sinx)/cosx
получим (cosx+sinx)/(cosx-sinx)
Тождество доказано

Answer 2

Для начала рассмотрим левую часть уравнения.

Решение левой части уравнения:

У нас имеется уравнение вида:

\[ \frac{1+\tan(x)}{1-\tan(x)} \]

Для начала запишем \(\tan(x)\) через \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\):

\[ \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \]

Теперь подставим это выражение в уравнение:

\[ \frac{1+\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}{1-\frac{\sin(x)}{\cos(x)}} \]

Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на \(\cos(x)\):

\[ \frac{\cos(x) + \sin(x)}{\cos(x) - \sin(x)} \]

Таким образом, левая часть уравнения равна:

\[ \frac{1+\tan(x)}{1-\tan(x)} = \frac{\cos(x) + \sin(x)}{\cos(x) - \sin(x)} \]

Решение правой части уравнения:

Теперь рассмотрим правую часть уравнения:

\[ \frac{\cos(x) + \sin(x)}{\cos(x) - \sin(x)} \]

Как видим, правая часть уравнения уже имеет нужный вид.

Вывод:

Таким образом, из нашего анализа следует, что левая и правая части уравнения равны друг другу. Получается, что уравнение выполняется для всех значений \(x\), для которых \(\tan(x)\) определено, то есть для всех \(x\), кроме точек, где \(\cos(x) = 0\), так как в этом случае \(\tan(x)\) не определено.