Question

Найти косинус угла между градиентами скалярных полей u=6x^2+y^2+3z^2, v=1/(6x+y+3z) в точке Мo (-5;3;-2)

Answer 1

Найти косинус угла между градиентами скалярных полей u=6x^2+y^2+3z^2, v=1/(6x+y+3z) в точке Мo (-5;3;-2)

u'x=12x=-5*12=-60    u'y=2y=2*3=6   u'z=6z=-6*2=-12
grad u = (-60;6;-12)

v=(6x+y+3z)⁻¹    v'x=-6/(6x+y+3z)²=-6/(-5*6+3-5)²=-6/1024
v'y=-1/(-5*6+3-5)²=-1/1024     v'z=-3/1024
grad v = (-6/1024;-1/1024;-3/1024)

скалярное произведение (grad u,grad v)=60*6/1024-6/1024+36/1024=
=1/1024(360-6+36)=390/1024=195/512
|grad u|=√(3600+36+144)= √3780=2√945
|grad v|=1/1024√(36+1+9)=√46/1024

cosa=(grad u,grad v)/|grad u|*|grad v|
195/512          195*1024                   195
         cosa = ------------------------- = -------------  ≈ 0.93
                        512*2√945*√46      √945*√46      

Answer 2

Для нахождения косинуса угла между градиентами скалярных полей u и v в точке Мо (-5, 3, -2), мы должны вычислить градиенты обоих полей в этой точке, а затем найти косинус угла между векторами градиентов.

Градиент скалярного поля u вычисляется путем нахождения вектора частных производных по x, y и z от функции u = 6x^2 + y^2 + 3z^2. Давайте найдем его:

Градиент u = (∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z)

Для этого, найдем частные производные:

∂u/∂x = 12x ∂u/∂y = 2y ∂u/∂z = 6z

Подставим значения точки Мо (-5, 3, -2):

∂u/∂x = 12(-5) = -60 ∂u/∂y = 2(3) = 6 ∂u/∂z = 6(-2) = -12

Таким образом, градиент скалярного поля u в точке Мо равен (-60, 6, -12).

Теперь рассмотрим скалярное поле v = 1/(6x + y + 3z). Для нахождения градиента этого поля, мы снова найдем вектор частных производных по x, y и z от функции v. После этого мы подставим значения точки Мо (-5, 3, -2) и найдем соответствующие частные производные.

Градиент v = (∂v/∂x, ∂v/∂y, ∂v/∂z)

Для этого, найдем частные производные:

∂v/∂x = -1/(6x + y + 3z)^2 * 6 ∂v/∂y = -1/(6x + y + 3z)^2 * 1 ∂v/∂z = -1/(6x + y + 3z)^2 * 3

Подставим значения точки Мо (-5, 3, -2):

∂v/∂x = -1/(6(-5) + 3 + 3(-2))^2 * 6 = -1/(-24)^2 * 6 = -1/576 * 6 = -1/96 ∂v/∂y = -1/(6(-5) + 3 + 3(-2))^2 * 1 = -1/(-24)^2 * 1 = -1/576 ∂v/∂z = -1/(6(-5) + 3 + 3(-2))^2 * 3 = -1/(-24)^2 * 3 = -3/576 = -1/192

Таким образом, градиент скалярного поля v в точке Мо равен (-1/96, -1/576, -1/192).

Теперь мы можем найти косинус угла между векторами градиентов u и v, используя формулу для косинуса угла между двумя векторами:

cos(θ) = (u · v) / (||u|| ||v||)

где u · v - скалярное произведение векторов u и v, ||u|| и ||v|| - длины векторов u и v соответственно.

Давайте вычислим это:

u · v = (-60)(-1/96) + (6)(-1/576) + (-12)(-1/192) = 5/8 + 1/96 + 1/16 = 40/48 + 1/96 + 3/48 = 43/48

||u|| = √((-60)^2 + 6^2 + (-12)^2) = √(3600 + 36 + 144) = √3780 = 3√42

||v|| = √((-1/96)^2 + (-1/576)^2 + (-1/192)^2) = √(1/9216 + 1/331776 + 1/36864) = √(36/331776 + 6/331776 + 72/331776) = √(114/331776) = √(19/55296) = √19 / 384

Итак, косинус угла между градиентами скалярных полей u и v в точке Мо (-5, 3, -2) равен:

cos(θ) = (43/48) / (3√42 * √19 / 384) = (43/48) * (384 / (3√42 * √19)) = (43 * 384) / (48 * 3√42 * √19) = 164352 / (2304 * √42 * √19) ≈ 0.67

Таким образом, косинус угла между градиентами скалярных полей u и v в точке Мо (-5, 3, -2) примерно равен 0.67.