Question

Найти объем тела,обрадованного вращением вокруг оси Ox плоской фигуры,ограниченной линиями y=x^3,x=0,x=2

Answer 1

V=π*$\int\limits^2_0 { ( x^{3}) ^{2} } \, dx = \int\limits^2_0 { x^{6} } \, dx = x^{7}/7= 2^{7} /7- 0^{7} /7=4096/7$

Answer 2

Для нахождения объема тела, образованного вращением вокруг оси Ox плоской фигуры, ограниченной линиями y = x^3, x = 0 и x = 2, мы можем использовать метод цилиндров разреза.

Шаг 1: Визуализация фигуры

Для начала, давайте визуализируем данную плоскую фигуру. Функция y = x^3 описывает кривую, которая имеет начало в точке (0, 0) и проходит через точку (2, 8). Линии x = 0 и x = 2 задают вертикальные границы фигуры.

*Обратите внимание, что чтобы получить объем, мы вращаем фигуру вокруг оси Ox, поэтому мы должны рассматривать цилиндры разреза, перпендикулярные оси Ox.*

Шаг 2: Разделение фигуры на бесконечно малые цилиндры разреза

Чтобы найти объем тела, мы разделим фигуру на бесконечно малые цилиндры разреза, перпендикулярные оси Ox. Каждый цилиндр разреза будет иметь радиус r и высоту dh.

Шаг 3: Нахождение радиуса и высоты цилиндра разреза

Рассмотрим произвольную точку x на оси Ox в диапазоне от 0 до 2. Радиус r цилиндра разреза в этой точке будет равен значению функции y = x^3 в этой точке. То есть, r = x^3.

Высота dh цилиндра разреза будет бесконечно малым изменением x, dh = dx.

Шаг 4: Нахождение объема цилиндра разреза и суммирование

Объем бесконечно малого цилиндра разреза dV можно найти, используя формулу V = πr^2h. Подставляя значения r = x^3 и h = dx, получаем dV = πx^6dx.

Чтобы найти полный объем тела, мы должны проинтегрировать это выражение по оси Ox в диапазоне от 0 до 2:

V = ∫[0,2] πx^6 dx.

Шаг 5: Вычисление интеграла

Интегрируя выражение πx^6 по оси Ox в диапазоне от 0 до 2, мы получим:

V = π * ∫[0,2] x^6 dx.

Для вычисления этого интеграла, мы можем использовать стандартные правила интегрирования. Подставляя значения верхней и нижней границы интегрирования, мы получим:

V = π * [x^7 / 7] [0,2] = π * [(2^7 / 7) - (0^7 / 7)] = π * (128 / 7).

Ответ:

Таким образом, объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox плоской фигуры, ограниченной линиями y = x^3, x = 0 и x = 2, равен (128π / 7) cubic units.