Question

Найти интеграл (e^x)*tg(x) dx , от 0 до 1

Answer 1

Тут главное - первообразные найти, а пределы интегрирования подставить - каждый сможет.

а) x^8(1-x^9)^5 dx = (1/9) (1-x^9)^5 d(x^9) = (1/9) (1-t)^5 dt - дальше понятно?
б) x^2e^2x dx - берется интегрированием по частям ДВА РАЗА. После первого интегрирования по частям у вас останется интеграл от xe^2x dx, а после еще одного - интеграл от e^2x dx, который ужЕ почти табличный.

Answer 2

Интеграл функции `(e^x)*tg(x)` от `0` до `1` может быть найден с помощью метода интегрирования по частям и интегрирования по замене. Давайте найдем этот интеграл подробно.

Для начала, применим метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид:

∫(u*v) dx = u*∫v dx - ∫(u' * ∫v dx) dx,

где `u` и `v` - функции, а `u'` - производная функции `u` по `x`.

В нашем случае, выберем `u = tg(x)` и `dv = e^x dx`. Тогда, `du = (1 + tg^2(x)) dx` и `v = ∫e^x dx = e^x`.

Подставляя значения в формулу интегрирования по частям, получаем:

∫(e^x * tg(x)) dx = tg(x) * e^x - ∫(e^x * (1 + tg^2(x))) dx.

Теперь, применим интегрирование по замене. Заметим, что `∫(e^x * (1 + tg^2(x))) dx` представляет собой произведение двух функций, которое может быть интегрировано по частям.

Выберем `u = 1 + tg^2(x)` и `dv = e^x dx`. Тогда, `du = 2tg(x) * (1 + tg^2(x)) dx` и `v = ∫e^x dx = e^x`.

Подставляя значения в формулу интегрирования по частям, получаем:

∫(e^x * (1 + tg^2(x))) dx = (1 + tg^2(x)) * e^x - ∫(2tg(x) * (1 + tg^2(x))) dx.

Заметим, что `∫(2tg(x) * (1 + tg^2(x))) dx` также может быть решено с помощью интегрирования по частям.

Выберем `u = 2tg(x)` и `dv = (1 + tg^2(x)) dx`. Тогда, `du = 2(1 + tg^2(x)) dx` и `v = ∫(1 + tg^2(x)) dx = x + tg(x)`.

Подставляя значения в формулу интегрирования по частям, получаем:

∫(2tg(x) * (1 + tg^2(x))) dx = 2tg(x) * (x + tg(x)) - ∫(2(x + tg(x)) * 2(1 + tg^2(x))) dx.

Теперь, у нас есть все необходимые интегралы для решения исходного вопроса. Подставим значения обратно в исходный интеграл:

∫(e^x * tg(x)) dx = tg(x) * e^x - (1 + tg^2(x)) * e^x + 2tg(x) * (x + tg(x)) - ∫(2(x + tg(x)) * 2(1 + tg^2(x))) dx.

Для упрощения выражения, нам потребуется найти интеграл ∫(2(x + tg(x)) * 2(1 + tg^2(x))) dx. Для этого, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

∫(2(x + tg(x)) * 2(1 + tg^2(x))) dx = ∫(4x + 4tg(x) + 4x*tg^2(x) + 4tg^3(x)) dx.

Теперь, проинтегрируем каждое слагаемое по отдельности:

∫(4x) dx = 2x^2 + C1, ∫(4tg(x)) dx = 4ln|sec(x)| + C2, ∫(4x*tg^2(x)) dx = ∫(4x * (sec^2(x) - 1)) dx = 4(x^2*sec^2(x) - x) + C3, ∫(4tg^3(x)) dx = ∫(4tg(x) * tg^2(x)) dx = ∫(4tg(x) * (sec^2(x) - 1)) dx = 4(ln|sec(x)| - tg(x)) + C4.

Теперь, подставим найденные интегралы обратно в исходное выражение:

∫(e^x * tg(x)) dx = tg(x) * e^x - (1 + tg^2(x)) * e^x + 2tg(x) * (x + tg(x)) - (2x^2 + 2ln|sec(x)| - 2tg(x) + 4x^2*sec^2(x) - 4x + 4ln|sec(x)| - 4tg(x)) + C.

Далее, объединим подобные слагаемые:

∫(e^x * tg(x)) dx = (tg(x) - e^x * tg(x) - 2x^2 + 4x^2*sec^2(x) - 6x) + (2ln|sec(x)| - 6tg(x)) + C.

Итак, окончательный ответ:

∫(e^x * tg(x)) dx = (tg(x) - e^x * tg(x) - 2x^2 + 4x^2*sec^2(x) - 6x) + (2ln|sec(x)| - 6tg(x)) + C,

где `C` - произвольная постоянная.