Question

Вычислить предел при x->1 (3^(5x-3)-3^(2x^2))/(ln(5x^(2)-4x) не пользуясь правилом Лопиталя.

Answer 1

Чтобы корректно отображались формулы зайти следует через браузер, а не через приложение!
Для начала используем известное следствие из вт-ого зам-ого предела$\lim_{a \to 0} \frac{ln(1+a)}{a} =1$:
$\lim_{x \to 1} \frac{3^{5x-3}-3^{2x^2}}{ln(5x^2-4x)} = \lim_{x \to 1} \frac{(3^{5x-3}-3^{2x^2})(5x^2-4x-1)}{ln(1+(5x^2-4x-1))(5x^2-4x-1)} =...$
5x²-4x-1 ->0 при x->1, поэтому дробь (5x²-4x-1)/ln(1+(5x^2-4x-1))->1. Значит
$...= \lim_{x \to 1} \frac{3 ^{5x-3}-3^{2x^2}}{5x^2-4x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{3 ^{5x-3}(1-3^{2x^2-5x+3})}{5x^2-4x-1} = \\ =-9\lim_{x \to 1} \frac{3^{2x^2-5x+3}-1}{5x^2-4x-1}=...$
Тут пригодится еще одно (их аж 6) следствие из второго замечательного предела: $\lim_{a \to 0} \frac{k^a-1}{alnk} =1$
$...=-9\lim_{x \to 1} \frac{(3^{2x^2-5x+3}-1)(2x^2-5x+3)ln3}{(5x^2-4x-1)(2x^2-5x+3)ln3}=-9ln3 \lim_{x \to 1} \frac{2x^2-5x+3}{5x^2-4x-1} = \\ =-9ln3 \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(2x-3)}{(x-1)(5x+1)} = \\ =-9ln3 \lim_{x \to 1} \frac{2x-3}{5x+1} = \frac{3ln3}{2} =ln \sqrt{27}$

Answer 2

Для вычисления предела данной функции при x->1 без использования правила Лопиталя, мы можем воспользоваться другими методами.

Сначала подставим x=1 в выражение и получим: (3^(5*1-3)-3^(2*1^2))/(ln(5*1^(2)-4*1)) = (3^2-3^2)/(ln(5-4)) = 0/ln(1) = 0

Теперь попробуем преобразовать выражение, чтобы упростить его перед вычислением предела. Разложим числитель на множители: 3^(5x-3) - 3^(2x^2) = 3^(3) * 3^(5x-3-3) - 3^(2) * 3^(x^2-2) = 27 * 3^(5x-6) - 9 * 3^(x^2-2)

Теперь поделим числитель и знаменатель на (x-1): (27 * 3^(5x-6) - 9 * 3^(x^2-2))/(ln(5x^(2)-4x)) / (x-1)

Получаем: (27 * 3^(5x-6) - 9 * 3^(x^2-2))/(ln(5x^(2)-4x)) / (x-1) = (27 * 3^(5x-6) - 9 * 3^(x^2-2))/(ln(5x^(2)-4x) * (x-1))

Теперь мы видим, что в числителе полученного выражения остались множители, которые содержат х и которые можно упростить, чтобы затем вычислить предел. Мы можем разложить числитель на множители и упростить выражение.

Таким образом, мы можем упростить данное выражение и вычислить предел при x->1 без использования правила Лопиталя.