Question

Диаметрами четырёх окружностей служат стороны четырёхугольник ABCD. Докажите что общая хорда окружностей с диаметрами AB и BC и общая хорда окружностей с диаметрами CD и DA параллельны или лежат на одной прямой.

Answer 1

Середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма (теорема Вариньона).
EFGH - параллелограмм.
EF||GH (противоположные стороны параллелограмма)

Общая хорда двух окружностей перпендикулярна линии центров.
BK⊥EF => BK⊥GH
DL⊥GH

Хорды BK и DL перпендикулярны одной прямой, следовательно они лежат на параллельных или на одной прямой.

Answer 2

Дано, что стороны четырехугольника ABCD являются диаметрами четырех окружностей. Нам нужно доказать, что общая хорда окружностей с диаметрами AB и BC, а также общая хорда окружностей с диаметрами CD и DA, либо параллельны, либо лежат на одной прямой.

Доказательство:

1. Рассмотрим хорду AB первой окружности. Поскольку AB является диаметром, она проходит через центр окружности и делит ее на две равные части. Обозначим точку пересечения хорды AB с другими окружностями как E и F.

2. Поскольку AB делит первую окружность на две равные части, то AE = EB.

3. Рассмотрим хорду BC второй окружности. Точка пересечения хорды BC с другими окружностями обозначим как F и G.

4. Поскольку BC делит вторую окружность на две равные части, то BF = FG.

5. Теперь рассмотрим хорду CD третьей окружности. Точка пересечения хорды CD с другими окружностями обозначим как G и H.

6. Поскольку CD делит третью окружность на две равные части, то CG = GH.

7. Наконец, рассмотрим хорду DA четвертой окружности. Точка пересечения хорды DA с другими окружностями обозначим как H и E.

8. Поскольку DA делит четвертую окружность на две равные части, то DH = HE.

9. Теперь сравним отношения длин хорд в каждой паре окружностей. Поскольку AE = EB, BF = FG, CG = GH и DH = HE, то можно заключить, что отношения длин хорд в каждой паре окружностей равны.

10. Из равенства отношений длин хорд следует, что общие хорды AB и BC параллельны.

11. Аналогичным образом можно показать, что общие хорды CD и DA также параллельны.

12. Таким образом, доказано, что общая хорда окружностей с диаметрами AB и BC, а также общая хорда окружностей с диаметрами CD и DA, либо параллельны, либо лежат на одной прямой.

Это доказательство основано на свойстве диаметров окружностей, которое гласит, что диаметр окружности делит ее на две равные части.