Question

Xy'=2y+1 непонятно как такое решать(

Answer 1

Имеем дифференциальное уравнение x * y' = 2y + 1
Перепишем через дифференциалы:
x * (dy/dx) = 2y + 1;
Обе части сначала разделим на x, а затем на (2y+1)
(dy/dx) / (2y + 1) = 1/x;
Наконец, можем умножить обе части на dx, получим дифур с разделяющимися переменными:
dy/(2y + 1) = dx/x
Интегрируем левую и правую части:
∫dy/(2y+1) = ∫dx/x, получаем (1/2) * ln(2y+1) = ln(x) + C
Выражаем игрек через икс:
ln(2y+1) = 2 ln(x) + 2C = 2 ln(x) + 2C*ln(e) = ln[(x^2) * e^(2C)]
2y+1 = (x^2) * e^(2C)
y = (1/2) * ( (x^2) * e^(2C) - 1) =((e^(2C))/2) * x^2 - 1/2
Произвольный коэффициент (e^(2C))/2 можно обозначит любым символом, но пусть это будет тот же самый (для простоты), тогда
y = C * x^2 - 1/2

Answer 2

Для начала, давайте разберем уравнение xy' = 2y + 1. Это уравнение представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка, где y' обозначает производную функции y по переменной x.

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать метод разделения переменных. Для этого сначала выразим y' через y: y' = (2y + 1)/x. Затем переместим все члены с y на одну сторону уравнения: y'/y = 2/x + 1/x.

Теперь мы можем проинтегрировать обе стороны уравнения. Интеграл от y'/y это ln|y|, а интеграл от (2/x + 1/x) это 2ln|x| + ln|x| = 3ln|x|. Таким образом, мы получаем ln|y| = 3ln|x| + C, где C - произвольная постоянная.

Теперь возведем обе стороны уравнения в экспоненту: |y| = e^(3ln|x|+C). Мы можем упростить это выражение, используя свойства логарифмов: |y| = e^(ln|x|^3)e^C = |x|^3e^C.

Теперь мы можем учесть знак модуля: y = ±x^3e^C. Где ± - это произвольная постоянная, которая определяет знак решения. Таким образом, общее решение уравнения xy' = 2y + 1 имеет вид y = ±x^3e^C.

Надеюсь, это помогло вам понять, как решать данное дифференциальное уравнение.