Question

(sin^2x)/(1+cosx)+cosx=1 тождество решить надо помогите

Answer 1

Sin²x/(1+cosx)+cosx=1;⇒
sin²x/(1+cosx)+cosx=(1-cos²x)/(1+cosx)+cosx=(1+cosx)(1-cosx)/(1+cosx)+cosx=
=1-cosx+cosx=1;⇒
1=1;

Answer 2

Для решения этого уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества.

Сначала заметим, что у нас есть тригонометрическое тождество: \[ 1 + \cos(x) = \frac{1}{\cos(x)} \]

Теперь мы можем подставить это тождество в исходное уравнение: \[ \frac{\sin^2(x)}{1+\cos(x)} + \cos(x) = 1 \] \[ \frac{\sin^2(x)}{\frac{1}{\cos(x)}} + \cos(x) = 1 \] \[ \sin^2(x) \cdot \cos(x) + \cos^2(x) = 1 \]

Теперь мы можем использовать тождество \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\) для замены \(\cos^2(x)\) в уравнении: \[ \sin^2(x) \cdot \cos(x) + (1 - \sin^2(x)) = 1 \] \[ \sin^2(x) \cdot \cos(x) + 1 - \sin^2(x) = 1 \] \[ \sin^2(x) \cdot \cos(x) - \sin^2(x) = 0 \]

Теперь мы можем вынести общий множитель \(\sin^2(x)\): \[ \sin^2(x) \cdot (\cos(x) - 1) = 0 \]

Таким образом, у нас есть два возможных решения: 1) \(\sin^2(x) = 0\) или 2) \(\cos(x) - 1 = 0\)

Первое уравнение дает нам решение \(\sin(x) = 0\), что приводит к \(x = k\pi\), где \(k\) - целое число.

Второе уравнение дает нам решение \(\cos(x) = 1\), что приводит к \(x = 2k\pi\), где \(k\) - целое число.

Таким образом, у нас есть бесконечное количество решений для данного уравнения.