Question

Найти площадь фигуры ограниченной линиями заданными в полярных координатах r=1-sinФ

Answer 1

S= 1/2⌠(от 0 до 2pi) (1-sinФ)^2=2pi

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями в полярных координатах, нужно использовать интеграл. Для данного случая, где уравнение линии задано в полярных координатах как r = 1 - sin(Φ), мы можем использовать следующий подход:

1. Найдите точки пересечения линии с осью абсцисс (ось X). Для этого, приравняйте значение r к нулю и решите уравнение:

1 - sin(Φ) = 0

sin(Φ) = 1

Φ = π/2

Таким образом, точка пересечения находится при Φ = π/2.

2. Определите пределы интегрирования для угла Φ. В данном случае, ограничения на угол Φ будут от 0 до π/2, так как фигура ограничена линией r = 1 - sin(Φ) и осью абсцисс.

3. Запишите уравнение для площади элемента площади фигуры в полярных координатах. В данном случае, площадь элемента площади будет равна половине произведения квадрата радиуса и дифференциала угла:

dA = (1/2) * r^2 * dΦ

4. Выполните интегрирование для нахождения площади фигуры. Запишите интеграл следующим образом:

A = ∫[0,π/2] (1/2) * (1 - sin(Φ))^2 * dΦ

A = (1/2) * ∫[0,π/2] (1 - 2sin(Φ) + sin^2(Φ)) * dΦ

A = (1/2) * ∫[0,π/2] (1 - 2sin(Φ) + (1 - cos(2Φ))/2) * dΦ

A = (1/2) * (∫[0,π/2] (1 - 2sin(Φ)) * dΦ + (1/2) * ∫[0,π/2] (1 - cos(2Φ)) * dΦ)

A = (1/2) * (Φ + cos(2Φ)/2) |[0,π/2]

A = (1/2) * ((π/2) + cos(π) - cos(0)/2)

A = (1/2) * ((π/2) + 1 - 1/2)

A = (1/2) * (π/2 + 1/2)

A = π/4 + 1/4

A = (π + 1)/4

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линией r = 1 - sin(Φ) и осью абсцисс, равна (π + 1)/4.