Question

Решите дифф. уравнения: 1) y''=6y'+9y=3x-8e^x 2) y'''+3y''+3y'+y=0 y(0)=-1. y'(o)=2. y''(0)=3

Answer 1

1. Имеем дело с дифференциальным уравнением второго порядка с правой частью.
Нужно найти общее решение неоднородного уравнения:
       
                             yо.н. = уо.о. + уч.н.

Где уо.о. - общее решение однородного уравнения, уч.н. - частное решение.

Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения.
$y''+6y'+9y=0$

Перейдем к характеристическому уравнению, осуществив замену $y=e^{kx}$.

$k^2+6k+9=0;\\ \\ (k+3)^2=0\\\\ k_{1,2}=-3$

Общее решение однородного уравнения: yo.o. = $C_1e^{-3x}+C_2xe^{-3x}$

Теперь нужно найти частное решение неоднородного уравнения. Правую часть исходн. ДУ отметим как за две функции, т.е. $f_1(x)=3x$ и $f_2(x)=-8e^x$

Рассмотрим функцию $f_1(x)=3x$
$\alpha =0;~~~ P_n(x)=3x~~~\Rightarrow~~~ n=1$
Сравнивая $\alpha$ с корнями характеристического уравнения, и, принимая во внимания, что n=1, частное решение будем искать в виде.
yч.н.₁ = $Ax+B$

И, вычислив первую и вторую производную: $y'=A;~~~ y''=0$, подставим в исходное уравнение без функции $f_2(x)$.
$9Ax+6A+9B=3x$

Приравниваем коэффициенты при степени х:
$\displaystyle \left \{ {{9A=3} \atop {6A+9B=0}} \right. ~~~\Rightarrow~~~~ \left \{ {{A=3} \atop {B=-2/9}} \right.$

уч.н.₁ = (x/3) - 2/9 

Рассмотрим теперь функцию $f_2(x)=-8e^x$
$\alpha=1;~~~ P_n(x)=-8~~~~\Rightarrow~~~~ n=0$
Аналогично сравнивая $\alpha$ с корнями характеристического уравнения и принимая во внимая, что n=0, частное решение будем искать в следующем виде:
уч.н.₂ = $Ae^x$

И тогда первая и вторая производная равны соответственно $y'=Ae^x$ и $y''=Ae^x$

$Ae^x+6Ae^x+9Ae^x=-8e^x\\ \\ 16A=-8\\ \\ A=- \frac{1}{2}$

Тогда уч.н.₂ = -(1/2) * eˣ

И, воспользовавшись теоремой о суперпозиции, частное решение неоднородного уравнения: уч.н. = уч.н.₁ + уч.н.₂ = (x/3)- (2/9) - (1/2) * eˣ

Тогда общее решение неоднородного уравнения:

           $y_{O.H.}=C_1e^{-3x}+C_2xe^{-3x}+ \frac{x}{3} - \frac{2}{9} - \frac{e^x}{2}$

Задание 2.
Это ДУ третьего порядка, однородное. Переходим к характеристическому уравнению, сделав замену Эйлера $y=e^{kx}$.
$k^3+3k^2+3k+1=0\\ (k+1)^3=0\\ k=-1$

Общее решение однородного уравнения: $y=C_1e^{-x}+C_2xe^{-x}+C_3x^2e^{-x}$

$y'=-C_1e^{-x}+C_2e^{-x}-C_2xe^{-x}+2C_3xe^{-x}-C_3e^{-x}\\ y''=C_1e^{-x}-C_2e^{-x}-C_2e^{-x}+C_2xe^{-x}+2C_3e^{-x}-2C_3xe^{-x}+C_3e^{-x}=\\ =C_1e^{-x}-2C_2e^{-x}+C_2xe^{-x}-2C_3xe^{-x}+3C_3e^{-x}$
Найдем частное решение, подставляя начальные условия.
$\begin{cases} & \text{ } C_1=-1 \\ & \text{ } -C_1+C_2-C_3=2 \\ & \text{ } C_1-2C_2+3C_3=3 \end{cases}~~~\Rightarrow~~~~\begin{cases} & \text{ } C_1=-1 \\ & \text{ } C_2=7 \\ & \text{ } C_3=6 \end{cases}$

Частное решение: $y=-e^{-x}+7xe^{-x}+6x^2e^{-x}$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения, мы можем использовать методы решения линейных дифференциальных уравнений.

1) Начнем с нахождения общего решения однородного дифференциального уравнения y'' - 6y' + 9y = 0. Характеристическое уравнение для этого уравнения будет λ^2 - 6λ + 9 = 0. Факторизуем его: (λ - 3)^2 = 0. Отсюда получаем, что характеристическое уравнение имеет кратный корень λ = 3.

Таким образом, общее решение однородного уравнения будет иметь вид y_h = (C1 + C2x)e^{3x}, где C1 и C2 - произвольные постоянные.

2) Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения y'' - 6y' + 9y = 3x - 8e^x. Для этого воспользуемся методом вариации постоянных. Предположим, что частное решение имеет вид y_p = Ax + Be^x, где A и B - постоянные, которые нужно найти. Тогда y_p' = A + Be^x, y_p'' = Be^x, подставим это в уравнение и найдем значения A и B.

3) Теперь общее решение неоднородного уравнения будет иметь вид y = y_h + y_p.

4) Найдем значения постоянных C1 и C2 из начальных условий y(0) = -1, y'(0) = 2, y''(0) = 3. Подставим эти значения в общее решение и найдем C1 и C2.

Таким образом, после нахождения всех постоянных и подстановки их в общее решение, мы получим окончательное решение дифференциального уравнения.