Question

Как дазать, что (1/2+1/3+1/4...+1/n)<1

Answer 1

Вы ничего не путаете?

насколько я помню гармонический ряд является расходящимся.

Answer 2

Для того чтобы доказать, что сумма 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n меньше 1, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

База индукции: Для n=1, сумма 1/2 < 1.

Предположение индукции: Пусть для некоторого n сумма 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n меньше 1.

Шаг индукции: Докажем, что сумма 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n + 1/(n+1) также меньше 1.

Мы можем заметить, что 1/(n+1) является меньшим чем 1/(n-1) для всех n>=2. Таким образом, можно заменить каждое слагаемое 1/(n+1), 1/(n+2), и так далее, на 1/(n-1), 1/n, и так далее. Это позволяет нам записать сумму 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n + 1/(n+1) как 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/(n-1) + 1/n + 1/(n-1) + 1/n + ... + 1/n.

Таким образом, мы видим, что сумма 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n + 1/(n+1) больше суммы 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n. По предположению индукции, сумма 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n меньше 1, следовательно, сумма 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n + 1/(n+1) также меньше 1.

Таким образом, мы доказали, что сумма 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n меньше 1 для всех натуральных n.