Question

Найдите число целых решений системы неравенств: (x^2-6>x) ... (x^2-x<=42)

Answer 1

решение во вложенном файле

Answer 2

Для решения данной системы неравенств, нам необходимо найти количество целочисленных решений, удовлетворяющих всем условиям. Давайте разберемся пошагово.

Первое неравенство: x^2 - 6 > x

Для начала решим это неравенство по отдельности. Перенесем все члены в левую часть неравенства: x^2 - x - 6 > 0

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения, приравняв его к нулю: x^2 - x - 6 = 0

Можем применить факторизацию или использовать квадратное уравнение: (x - 3)(x + 2) > 0

Теперь определим знак выражения (x - 3)(x + 2), чтобы найти интервалы, в которых неравенство выполняется. Для этого построим таблицу знаков:

| x | -∞ | -2 | 3 | +∞ | |:---------:|:--:|:---:|:---:|:--:| | (x - 3) | - | - | + | + | | (x + 2) | - | + | + | + | | (x - 3)(x + 2) | + | - | + | + |

Из таблицы видно, что выражение (x - 3)(x + 2) положительно только в интервалах (-∞, -2) и (3, +∞). Следовательно, первое неравенство выполняется, когда x принадлежит этим интервалам.

Второе неравенство: x^2 - x <= 42

Теперь рассмотрим второе неравенство. Перенесем все члены в левую часть: x^2 - x - 42 <= 0

Точно так же, как и ранее, найдем корни этого квадратного уравнения: x^2 - x - 42 = 0

Можем применить факторизацию или использовать квадратное уравнение: (x - 7)(x + 6) <= 0

Теперь определим знак выражения (x - 7)(x + 6), чтобы найти интервалы, в которых неравенство выполняется. Для этого построим таблицу знаков:

| x | -∞ | -6 | 7 | +∞ | |:---------:|:--:|:---:|:---:|:--:| | (x - 7) | - | - | - | + | | (x + 6) | - | + | + | + | | (x - 7)(x + 6) | + | - | - | + |

Из таблицы видно, что выражение (x - 7)(x + 6) отрицательно только в интервале (-6, 7). Следовательно, второе неравенство выполняется, когда x принадлежит этому интервалу.

Определение общего интервала

Теперь найдем общий интервал, в котором выполняются оба неравенства. Для этого возьмем пересечение интервалов, полученных из каждого неравенства.

Интервалы для первого неравенства: (-∞, -2) и (3, +∞) Интервал для второго неравенства: (-6, 7)

Таким образом, общий интервал, в котором выполняются оба неравенства, это (3, 7). В этом интервале значение x должно быть целым числом.

Подсчет количества целых решений

Теперь, чтобы найти количество целых решений в интервале (3, 7), мы должны посчитать, сколько целых чисел находится в этом интервале.

В данном случае, целыми числами в интервале (3, 7) являются числа 4, 5 и 6. Таким образом, количество целых решений равно 3.

Итак, число целых решений системы неравенств (x^2 - 6 > x) и (x^2 - x <= 42) в данном случае равно 3.