Question

Написать уравнение плоскости,проходящей через точку Мо(-1;2;3) и перпендикулярной к вектору ОМ.

Answer 1

Решение в приложении.

Answer 2

Уравнение плоскости можно записать в виде:

Ax + By + Cz + D = 0,

где A, B и C - коэффициенты, определяющие нормальный вектор плоскости, а D - свободный член.

Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(-1;2;3) и перпендикулярной к вектору OM, нам нужно определить нормальный вектор плоскости.

Нормальный вектор плоскости будет перпендикулярен к вектору OM и можно найти его с помощью векторного произведения. Векторное произведение двух векторов в трехмерном пространстве можно найти следующим образом:

n = OM x OP,

где OM - вектор, идущий из начала координат (0;0;0) в точку M₀(-1;2;3), а OP - произвольный вектор, не лежащий в плоскости.

Подставляя координаты точки M₀ и вектора OP в формулу, получим:

OM = (-1;2;3) OP = (a;b;c)

n = (-1;2;3) x (a;b;c)

Вычислим векторное произведение:

n = (2c - 3b; 3a - c; -2a + b)

Теперь у нас есть нормальный вектор плоскости, который равен (2c - 3b; 3a - c; -2a + b).

Подставим координаты точки M₀ и найденные коэффициенты в уравнение плоскости:

Ax + By + Cz + D = 0,

A(-1) + B(2) + C(3) + D = 0,

Так как плоскость перпендикулярна к вектору OM, то нормальный вектор плоскости должен быть параллелен вектору OM. Это означает, что коэффициенты A, B и C в уравнении плоскости должны быть равны координатам нормального вектора плоскости:

A = 2c - 3b, B = 3a - c, C = -2a + b.

Теперь мы можем записать уравнение плоскости:

(2c - 3b)x + (3a - c)y + (-2a + b)z + D = 0.

Подставим координаты точки M₀(-1;2;3) в уравнение плоскости:

(2c - 3b)(-1) + (3a - c)(2) + (-2a + b)(3) + D = 0.

-2c + 3b - 6a + 2c + 6 - 2a + 3b + D = 0.

Упрощаем уравнение:

6b - 8a + D + 6 = 0.

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(-1;2;3) и перпендикулярной к вектору OM, имеет вид:

6b - 8a + D + 6 = 0.

Пожалуйста, обратите внимание, что это лишь одно из возможных уравнений плоскости, удовлетворяющее заданным условиям. Существует бесконечное количество плоскостей, проходящих через точку M₀ и перпендикулярных к вектору OM. Все они могут быть записаны в виде Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D могут принимать различные значения.