Question

Найти неопределенный интеграл (10-х) в квадрате-dx

Answer 1

$\displaystyle \int (10-x)^2dx=\int(100+x^2-20x)dx=100x+ \frac{x^3}{3}-10x^2+C$

Answer 2

Для нахождения неопределенного интеграла от выражения (10 - x)^2, мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям или методом замены переменной. Давайте воспользуемся методом интегрирования по частям для решения этого интеграла.

Использование метода интегрирования по частям

Метод интегрирования по частям формулируется следующим образом: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] где u и v - это выбранные функции, а du и dv - их дифференциалы.

Для данного интеграла, мы можем выбрать: \[ u = (10 - x)^2 \] \[ dv = dx \]

Затем мы вычисляем дифференциалы: \[ du = -2(10 - x) \, dx \] \[ v = x \]

Теперь мы можем использовать формулу интегрирования по частям: \[ \int (10 - x)^2 \, dx = (10 - x)^2 \cdot x - \int x \cdot (-2)(10 - x) \, dx \]

Раскроем скобки и проинтегрируем второе слагаемое: \[ \int (10 - x)^2 \, dx = 10x - x^2 - \int (-20x + 2x^2) \, dx \] \[ \int (10 - x)^2 \, dx = 10x - x^2 + 10x^2 - \frac{2}{3}x^3 + C \] где C - произвольная постоянная.

Таким образом, неопределенный интеграл от выражения (10 - x)^2 равен: \[ \int (10 - x)^2 \, dx = 10x - x^2 + 10x^2 - \frac{2}{3}x^3 + C \]

Итоговый ответ: \[ \int (10 - x)^2 \, dx = 10x - x^2 + 10x^2 - \frac{2}{3}x^3 + C \] где C - произвольная постоянная.