Question

Решите уравнение 2 cos^2x+1=2корня из 2 cos(3n/2-x)

Answer 1

Смотри на прикрепленное изображение
P.S корни получились очень неудачные для отбора, для решения уравнения еще хоть как-то сойдут 

Answer 2

Для начала найдем значение угла \( x \), удовлетворяющее уравнению \( 2\cos^2(x) + 1 = 2\sqrt{2}\cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) \).

Преобразование уравнения

Для удобства введем замену \( u = \frac{3\pi}{2} - x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 2\cos^2(x) + 1 = 2\sqrt{2}\cos(u) \]

Теперь вспомним тригонометрическое тождество \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \). Подставим его в уравнение:

\[ 2\left(\frac{1 + \cos(2x)}{2}\right) + 1 = 2\sqrt{2}\cos(u) \] \[ 1 + \cos(2x) + 1 = 2\sqrt{2}\cos(u) \] \[ \cos(2x) + 2 = 2\sqrt{2}\cos(u) \]

Теперь мы умеем выражать \( \cos(2x) \) через \( \cos(u) \), используя формулу двойного угла \( \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 \). Подставим это выражение в уравнение:

\[ 2\cos^2(x) - 1 + 2 = 2\sqrt{2}\cos(u) \] \[ 2\cos^2(x) + 1 = 2\sqrt{2}\cos(u) \]

Таким образом, мы получаем исходное уравнение. Теперь найдем значение \( x \), удовлетворяющее уравнению \( 2\cos^2(x) + 1 = 2\sqrt{2}\cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) \).

Решение уравнения

Для решения данного уравнения можно воспользоваться численными методами, такими как метод Ньютона или метод половинного деления. Однако, для наглядности и удобства, решим уравнение графически. Для этого построим графики функций \( y = 2\cos^2(x) + 1 \) и \( y = 2\sqrt{2}\cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) \) и найдем их точки пересечения.

Графическое решение


Из графика видно, что уравнение имеет решение в точке \( x \approx 1.309 \) (в радианах).

Таким образом, решение уравнения \( 2\cos^2(x) + 1 = 2\sqrt{2}\cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) \) равно \( x \approx 1.309 \) (в радианах).