Question

1)y=1/1+x^2; 2)y=2sinx найти первообразную.

Answer 1

Имеется табличный интеграл ∫dx/(a²+x²) общего вида. Отсюда

∫1/(1+x²)dx=[arctg(x/a)]/a+C={a=1}=arctgx+C

в таблице основных интегралов есть и просто наш интеграл
∫dx/(1+x²)=arctgx+C
--------------------------------
∫2sinxdx=2∫sinxdx=-2cosx+C
легко проверить обратным действием - взять производную.
(-2cosx+c)'=-2*cos'x+0=-2(-sinx)=2sinx

Answer 2

Для первого выражения, y = 1/(1 + x^2), мы можем найти первообразную, используя метод интегрирования.

Нахождение первообразной для y = 1/(1 + x^2)

1. Первоначально, заметим, что данная функция похожа на обратную функцию тангенса, а именно на функцию arctan(x).

2. Мы можем убедиться в этом, продифференцировав arctan(x) и сравнив результат с исходной функцией 1/(1 + x^2). Давайте это сделаем:

Пусть f(x) = arctan(x). Тогда f'(x) = 1/(1 + x^2).

Заметим, что f'(x) исходная функция 1/(1 + x^2) совпадают, поэтому f(x) является первообразной для данной функции.

3. Таким образом, первообразная для y = 1/(1 + x^2) равна arctan(x) + C, где C - произвольная постоянная.

Нахождение первообразной для y = 2sin(x)

Для второго выражения, y = 2sin(x), мы также можем найти первообразную, используя метод интегрирования.

1. Для этого нам понадобится знание о производной функции синуса, а именно о функции cos(x).

2. Производная sin(x) равна cos(x), поэтому мы можем интегрировать обратную функцию cos(x), чтобы найти первообразную для y = 2sin(x).

3. Таким образом, первообразная для y = 2sin(x) равна -2cos(x) + C, где C - произвольная постоянная.

Итак, первообразные для данных функций выглядят следующим образом:

1) y = 1/(1 + x^2): первообразная = arctan(x) + C, где C - произвольная постоянная.

2) y = 2sin(x): первообразная = -2cos(x) + C, где C - произвольная постоянная.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.