Question

Найти площадь фигуры,ограниченной линиями y=2x-x^2,у=0. Выполните чертеж.

Answer 1

1) чертим графики функций.
2) решаем интеграл

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями y=2x-x^2 и y=0, сначала найдем точки их пересечения.

Для этого приравняем уравнения: 2x-x^2 = 0 x(2-x) = 0 x = 0 или x = 2

Таким образом, точки пересечения линий это (0,0) и (2,0).

Теперь можем построить график этих функций и область, которую они ограничивают.

Построим график функции y=2x-x^2. Для этого найдем вершину параболы, используя формулу x = -b/2a. В данном случае a=-1, b=2, поэтому x = -2/(2*(-1)) = 1. Подставим x=1 в уравнение и найдем y. Получим y = 2*1-1^2 = 1. Таким образом, вершина параболы находится в точке (1,1).

Теперь построим график функции y=2x-x^2 и прямой y=0 на координатной плоскости.

Теперь вычислим площадь фигуры, ограниченной этими линиями. Это можно сделать с помощью определенного интеграла, так как площадь под кривой равна определенному интегралу функции. В данном случае, площадь равна интегралу от функции y=2x-x^2 до функции y=0 на интервале от 0 до 2.

S = ∫[0,2] (2x-x^2) dx

Вычислим данный интеграл:

S = [x^2 - (x^3)/3] от 0 до 2 S = (2^2 - (2^3)/3) - (0 - (0^3)/3) S = (4 - 8/3) - 0 S = 12/3 - 8/3 S = 4/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x-x^2 и y=0, равна 4/3 квадратных единиц.