Question

необходимо подробненько найти интеграл (7x+8)/((x-7)(x-8))dxи еще int dx/sin8x )

Answer 1

$\int{\frac{7x+8}{(x-7)(x-8)}}\, dx$

 Методом неопределенных коэффициентов разложим дробь:

 $\frac{7x+8}{(x-7)(x-8)}=\frac{A}{x-7}+\frac{B}{x-8}=\frac{A(x-8)+B(x-7)}{(x-7)(x-8)}$

 

 $\left \{ {{A+B=7} \atop {-8A-7B=8}} \right.$$\left \{ {{A=-57} \atop {B=64}} \right.$

 

 Получаем

$\int{\frac{7x+8}{(x-7)(x-8)}}\, dx=\int{\frac{-57}{x-7}}\, dx+\int{\frac{64}{x-8}}\, dx=-57ln(x-7)+64ln(x-8)$

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый интеграл по отдельности и найдем подробные решения.

Интеграл (7x+8)/((x-7)(x-8)) dx

Для начала, давайте разложим дробь на простейшие дроби с помощью метода неопределенных коэффициентов. Представим дробь в виде:

(7x+8)/((x-7)(x-8)) = A/(x-7) + B/(x-8)

Умножим обе части на ((x-7)(x-8)):

(7x+8) = A(x-8) + B(x-7)

Теперь подставим значения x, чтобы найти неизвестные коэффициенты A и B. Пусть x=7:

(7*7+8) = A(7-8) + B(7-7) 49+8 = -A 57 = -A

Пусть x=8:

(7*8+8) = A(8-8) + B(8-7) 64+8 = B 72 = B

Таким образом, разложение на простейшие дроби выглядит следующим образом:

(7x+8)/((x-7)(x-8)) = -57/(x-7) + 72/(x-8)

Теперь мы можем интегрировать каждую дробь по отдельности:

∫(-57/(x-7) + 72/(x-8)) dx

Первая часть интеграла:

∫(-57/(x-7)) dx = -57 ln |x-7| + C1

Вторая часть интеграла:

∫(72/(x-8)) dx = 72 ln |x-8| + C2

Где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Таким образом, окончательный ответ на интеграл (7x+8)/((x-7)(x-8)) dx:

∫(7x+8)/((x-7)(x-8)) dx = -57 ln |x-7| + 72 ln |x-8| + C

где C - произвольная постоянная.

Интеграл ∫ dx/sin(8x)

Для решения данного интеграла воспользуемся заменой переменной. Пусть u = 8x, тогда dx = du/8.

Заменим переменную в интеграле:

∫ dx/sin(8x) = ∫ (du/8) / sin(u)

Теперь воспользуемся формулой интеграла от функции cosec(x):

∫ cosec(x) dx = -ln|cosec(x) + cot(x)| + C

Таким образом, интеграл ∫ dx/sin(8x) примет вид:

∫ (du/8) / sin(u) = (1/8) ∫ du / sin(u) = (1/8) (-ln|cosec(u) + cot(u)|) + C

Вернемся к исходной переменной:

(1/8) (-ln|cosec(8x) + cot(8x)|) + C

где C - произвольная постоянная.

Надеюсь, это помогло! Если у вас возникли еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задать их.