Question

исследовать график: y= 2x^2 / x^2-4. мне только корни второй производной нужны

Answer 1

y' = (4x(x^2-4) - 4x^3) / (x^2-4)^2 = (-16x) / (x^2-4)^2,

y'' = (-16*(x^2-4)^2+16x*2*(x^2-4)*2x) / (x^2-4)^4 = (-16x^4+128x^2-256+64x^4-256x^2) / (x^2-4)^4 = (48x^4-128x^2-256) / (x^2-4)^4,

(48x^4-128x^2-256) / (x^2-4)^4 = 0.

Ищем корни знаменателя:

(x^2-4)^4 = 0,

x^2-4 = 0,

x1 = 2, x2 = -2.

Ищем корни числителя:

48x^4-128x^2-256 = 0,

3x^4 - 4x^2 - 16 = 0,

Пусть t = x^2, тогда

3t^2 - 4t - 16 = 0,

D = 16+192 = 208

t1 = (4+4√13) / 6

t2 = (4-4√13) / 6

 

x3 = √t1, x4 = -√t1,

x5 = √t2, x6 = -√t2,

Answer 2

График функции y = (2x^2) / (x^2 - 4)

Для исследования графика функции y = (2x^2) / (x^2 - 4) и нахождения корней второй производной, давайте начнем с анализа функции и ее производных.

Анализ функции: 1. Найдем область определения функции. Функция y = (2x^2) / (x^2 - 4) будет определена, когда знаменатель x^2 - 4 не равен нулю. Решим уравнение x^2 - 4 = 0: x^2 - 4 = 0 (x - 2)(x + 2) = 0 x = 2 или x = -2

Таким образом, область определения функции - все значения x, кроме x = 2 и x = -2.

2. Найдем вертикальные асимптоты. Вертикальные асимптоты возникают, когда знаменатель функции равен нулю и числитель не равен нулю. Решим уравнение x^2 - 4 = 0: x^2 - 4 = 0 (x - 2)(x + 2) = 0 x = 2 или x = -2

Таким образом, у функции есть вертикальные асимптоты x = 2 и x = -2.

3. Найдем горизонтальную асимптоту. Горизонтальная асимптота возникает, когда степень числителя и знаменателя функции одинакова. В данном случае, степень числителя (2x^2) равна степени знаменателя (x^2 - 4), поэтому у функции есть горизонтальная асимптота.

4. Найдем точки пересечения с осями координат. Чтобы найти точки пересечения с осями координат, приравняем функцию к нулю и решим уравнение: (2x^2) / (x^2 - 4) = 0 2x^2 = 0 x = 0

Таким образом, функция пересекает ось x в точке (0, 0).

Нахождение корней второй производной: Для нахождения корней второй производной, сначала найдем первую и вторую производные функции y = (2x^2) / (x^2 - 4).

1. Первая производная: Для нахождения первой производной, используем правило дифференцирования частного функций: (u/v)' = (u'v - uv') / v^2

Применяя это правило к функции y = (2x^2) / (x^2 - 4), получим: y' = [(2(2x)(x^2 - 4)) - (2x^2(2x))] / (x^2 - 4)^2 = [4x(x^2 - 4) - 4x^3] / (x^2 - 4)^2 = [4x^3 - 16x - 4x^3] / (x^2 - 4)^2 = -16x / (x^2 - 4)^2

2. Вторая производная: Для нахождения второй производной, снова применим правило дифференцирования частного функций: (u/v)'' = [(u''v - 2u'v')v - (u'v - uv'')v'] / v^3

Применяя это правило к функции y' = -16x / (x^2 - 4)^2, получим: y'' = [(-16(x^2 - 4) - 2(-16x)(2x))] / (x^2 - 4)^3 = [-16x^2 + 64 - 64x^2] / (x^2 - 4)^3 = [-80x^2 + 64] / (x^2 - 4)^3

Теперь мы можем найти корни второй производной, решив уравнение y'' = 0: [-80x^2 + 64] / (x^2 - 4)^3 = 0

Уравнение y'' = 0 не имеет решений, так как числитель не может быть равен нулю.

Вывод: - График функции y = (2x^2) / (x^2 - 4) имеет область определения, равную всем значениям x, кроме x = 2 и x = -2. - У функции есть вертикальные асимптоты x = 2 и x = -2. - У функции есть горизонтальная асимптота. - Функция пересекает ось x в точке (0, 0). - Корни второй производной не существуют.