Question

Помогите найти производную функцию: 1) y=arcsin ((2x^2)/(1+x^4)) 2) y=корень из 1+lnx 3) y=(1+корень из x)/(1-корень из x)

Answer 1

$1)\; \; y=arcsin \frac{2x^2}{1+x^4}\\\\y'= \frac{1}{\sqrt{1-( \frac{2x^2}{1+x^4} })^2} \cdot \frac{4x(1+x^4)-2x^2\cdot 4x^3}{(1+x^4)^2}= \frac{1+x^4}{\sqrt{1+2x^4+x^8-4x^4}}\cdot \frac{4x+4x^5-8x^5}{(1+x^4)^2}$

$= \frac{1+x^4}{\sqrt{x^8-2x^4+1}} \cdot \frac{4x-4x^5}{(1+x^4)^2} = \frac{1}{\sqrt{(1-x^4)^2}} \cdot \frac{4x(1-x^4)}{1+x^4} = \frac{4x(1-x^4)}{(1-x^4)(1+x^4)} =\\\\=\frac{4x}{1+x^4}$

$2)\; \; y=\sqrt{1+lnx}\\\\y'= \frac{1}{2\sqrt{1+lnx}} \cdot \frac{1}{x} \\\\3)\; \; y= \frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}} \\\\y'= \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot (1-\sqrt{x})-(1+\sqrt{x})\cdot (-\frac{1}{2\sqrt{x}})}{(1-\sqrt{x})^2} = \frac{1-\sqrt{x}+1+\sqrt{x}}{2\sqrt{x}(1-\sqrt{x})^2} = \frac{1}{\sqrt{x}(1-\sqrt{x})^2}$

Answer 2

Расчет производной функции y = arcsin((2x^2)/(1+x^4))

Для нахождения производной функции y = arcsin((2x^2)/(1+x^4)), мы воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.

Правило дифференцирования сложной функции гласит:

Если у нас есть функция f(g(x)), то производная этой функции равна производной внешней функции, умноженной на производную внутренней функции.

В данном случае, внешней функцией является arcsin(x), а внутренней функцией является ((2x^2)/(1+x^4)).

1) Найдем производную внешней функции arcsin(x): Для этого воспользуемся производной арксинуса, которая равна 1/√(1-x^2).

2) Найдем производную внутренней функции ((2x^2)/(1+x^4)): Мы можем разделить эту функцию на две функции: f(x) = 2x^2 и g(x) = 1+x^4. Затем мы можем использовать правило дифференцирования частного функций, которое гласит: Если у нас есть функция f(x)/g(x), то производная этой функции равна (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / (g(x)^2).

Теперь приступим к расчету производной:

1) Производная внешней функции arcsin(x): y' = 1/√(1-x^2).

2) Производная внутренней функции ((2x^2)/(1+x^4)): f'(x) = 4x g'(x) = 4x^3

3) Производная функции y = arcsin((2x^2)/(1+x^4)): y' = (1/√(1-x^2)) * ((4x * (1+x^4)) - ((2x^2) * (4x^3))) / ((1+x^4)^2)

Итак, производная функции y = arcsin((2x^2)/(1+x^4)) равна:

y' = (1/√(1-x^2)) * ((4x * (1+x^4)) - ((2x^2) * (4x^3))) / ((1+x^4)^2)

Расчет производной функции y = корень из (1 + ln(x))

Для нахождения производной функции y = корень из (1 + ln(x)), мы воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.

Правило дифференцирования сложной функции гласит:

Если у нас есть функция f(g(x)), то производная этой функции равна производной внешней функции, умноженной на производную внутренней функции.

В данном случае, внешней функцией является корень из x, а внутренней функцией является (1 + ln(x)).

1) Найдем производную внешней функции корень из x: Для этого воспользуемся производной корня из x, которая равна 1/(2√x).

2) Найдем производную внутренней функции (1 + ln(x)): Для этого воспользуемся правилом дифференцирования суммы функций: Если у нас есть функция f(x) + g(x), то производная этой функции равна f'(x) + g'(x).

Теперь приступим к расчету производной:

1) Производная внешней функции корень из x: y' = 1/(2√x).

2) Производная внутренней функции (1 + ln(x)): y' = 1/x.

3) Производная функции y = корень из (1 + ln(x)): y' = (1/(2√x)) * (1/x).

Итак, производная функции y = корень из (1 + ln(x)) равна:

y' = (1/(2√x)) * (1/x)

Расчет производной функции y = (1 + корень из x) / (1 - корень из x)

Для нахождения производной функции y = (1 + корень из x) / (1 - корень из x), мы воспользуемся правилом дифференцирования частного функций.

Правило дифференцирования частного функций гласит:

Если у нас есть функция f(x)/g(x), то производная этой функции равна (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / (g(x)^2).

В данном случае, f(x) = (1 + корень из x) и g(x) = (1 - корень из x).

1) Найдем производную функции f(x) = (1 + корень из x): Для этого воспользуемся правилом дифференцирования суммы функций: Если у нас есть функция f(x) + g(x), то производная этой функции равна f'(x) + g'(x).

Производная функции f(x) = 1: f'(x) = 0.

Производная функции g(x) = корень из x: g'(x) = 1/(2√x).

2) Производная функции g(x) = (1 - корень из x): Аналогично, производная функции g(x) равна 1/(2√x).

3) Производная функции y = (1 + корень из x) / (1 - корень из x): y' = ((0 * (1 - корень из x)) - ((1 + корень из x) * (1/(2√x)))) / ((1 - корень из x)^2).

Итак, производная функции y = (1 + корень из x) / (1 - корень из x) равна:

y' = ((0 * (1 - корень из x)) - ((1 + корень из x) * (1/(2√x)))) / ((1 - корень из x)^2)