Question

У рівнобедренному трикутнику основа дорівнює 16, а бічна сторона - 10. Обчислити відстань між центрами вписаного і описаного кіл.

Answer 1

Δ $ABC-$ равнобедренный
$w(r; O_2) -$ окружность, вписанная в Δ $ABC$
$w(R;O_1)-$  окружность, описанная около Δ $ABC$
$AC=16$
$AB=BC=10$
$O_1O_2-$ ?

Δ $ABC$ - равнобедренный
$AB=BC=10$
$BK$ ⊥ $AC$
$BK-$ высота, а значит и медиана
$AK=KC=8$
$S=pr$
$S_{ABC}= \frac{abc}{4R}$
$p= \frac{a+b+c}{2}$
$p= \frac{AB+BC+AC}{2}= \frac{10+10+16}{2}=18$
$S_{ABC}= \frac{1}{2} BK*AC$
По теореме Пифагора найдем BK:
$BK^2=AB^2-AK^2$
$BK^2=10^2-8^2$
$BK^2=36$
$BK=6$
$S_{ABC}= \frac{1}{2} *6*16=48$
$r= \frac{S_{ABC}}{p}$
$r= \frac{48}{18}= \frac{8}{3} =2 \frac{2}{3}$

$\frac{10*10*16}{4R} =48$
$\frac{400}{R} =48$
$R= \frac{400}{48} = \frac{25}{3}=8 \frac{1}{3}$

Расстояние $d$между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника можно найти по формуле: 
$d^2=R^2-2Rr$
$d=O_1O_2$
$(O_1O_2)^2=(8 \frac{1}{3})^2 -2*8 \frac{1}{3}*2 \frac{2}{3}$
$(O_1O_2)^2=( \frac{25}{3})^2 -2* \frac{25}{3}* \frac{8}{3}$
$(O_1O_2)^2= \frac{625}{9} - \frac{400}{9}$
$(O_1O_2)^2= \frac{225}{9}$
$O_1O_2= \frac{15}{3} =5$

Ответ: 5

Answer 2

I can chat with you in Ukrainian.

Відстань між центрами вписаного і описаного кіл рівнобедреного трикутника можна знайти за формулою:

$$d = \frac{a^2 - 2b^2}{4R} - r,$$

де $a$ - основа, $b$ - бічна сторона, $R$ - радіус описаного кола, $r$ - радіус вписаного кола.

Для рівнобедреного трикутника з основою $16$ і бічною стороною $10$ маємо:

$$R = \frac{ab}{4S} = \frac{16 \cdot 10}{4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \sqrt{10^2 - 8^2}} = \frac{5}{\sqrt{6}},$$

$$r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \sqrt{10^2 - 8^2}}{\frac{1}{2} \cdot (16 + 10 + 10)} = \frac{2}{3} \sqrt{6},$$

де $S$ - площа трикутника, $p$ - півпериметр.

Підставляючи значення в формулу, отримуємо:

$$d = \frac{16^2 - 2 \cdot 10^2}{4 \cdot \frac{5}{\sqrt{6}}} - \frac{2}{3} \sqrt{6} = \frac{4}{5} \sqrt{6} - \frac{2}{3} \sqrt{6} = \frac{2}{15} \sqrt{6}.$$

Отже, відстань між центрами вписаного і описаного кіл дорівнює $\frac{2}{15} \sqrt{6}$.

Для більш детального пояснення властивостей рівнобедреного трикутника та способів обчислення радіусів вписаного і описаного кіл, ви можете переглянути наступні ресурси: [Рівнобедрений трикутник. Медіана, бісектриса і висота рівнобедреного трикутника](https://www.miyklas.com.ua/p/geometria/7-klas/trikutniki-oznaki-rivnosti-trikutnikiv-13627/rivnobedrenii-trikutnik-26154/re-7bcbd89c-bb50-4701-82bb-cc2c4c6c0427) та [Рівнобедрені трикутники. 25 задач на площу, периметр, радіус](https://yukhym.com/uk/geometriya/rivnobedreni-trykutnyky-25-zadach-na-ploshchi-kuty-radiusy.html).