Question

Найти интеграл: ∫ e в степени cosx * Sin x dx

Answer 1

......................

Answer 2

Чтобы найти интеграл ∫e^(cosx) * sinx dx, мы можем использовать метод интегрирования по частям. Этот метод основан на формуле:

∫u * v dx = u * ∫v dx - ∫(u' * ∫v dx) dx

где u и v - это функции, а u' - это производная функции u по переменной x.

Для данного интеграла, мы выбираем u = sinx и dv = e^(cosx) dx. Тогда, du = cosx dx и v = ∫e^(cosx) dx.

Вычисление ∫e^(cosx) dx

Для вычисления ∫e^(cosx) dx мы можем использовать замену переменных. Пусть t = cosx, тогда dt = -sinx dx. Заменяя переменные, получаем:

∫e^(cosx) dx = ∫e^t (-dt) = -∫e^t dt

Интеграл ∫e^t dt можно вычислить просто как e^t + C, где C - произвольная постоянная. Подставляя обратные замены, получаем:

-∫e^t dt = -e^(cosx) + C1

где C1 - также произвольная постоянная.

ПрименДля решения данного интеграла мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям, который позволяет выразить исходный интеграл через другие интегралы, что упрощает его вычисление.

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям основано на формуле: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] где \( u \) и \( v \) - это функции, которые мы выбираем, а \( du \) и \( dv \) - их дифференциалы.

Шаг 1: Выбор функций

Для данного интеграла, мы можем выбрать: \[ u = e^x \] \[ dv = \cos(x) \sin(x) \, dx \]

Шаг 2: Нахождение дифференциалов

Дифференцируя функцию \( u \), получим: \[ du = e^x \, dx \] Интегрируя функцию \( dv \), получим: \[ v = -\frac{1}{2} \cos(2x) \]

Шаг 3: Применение формулы интегрирования по частям

Подставим полученные значения в формулу интегрирования по частям: \[ \int e^x \cos(x) \sin(x) \, dx = e^x \left( -\frac{1}{2} \cos(2x) \right) - \int \left( -\frac{1}{2} \cos(2x) \right) e^x \, dx \]

Шаг 4: Вычисление нового интеграла

Теперь мы имеем новый интеграл, который можно вычислить. Применяя метод интегрирования по частям снова к новому интегралу, мы получим решение исходного интеграла.

Решение

Продолжая вычисления по интегрированию по частям, мы получим: \[ \int e^x \cos(x) \sin(x) \, dx = e^x \left( -\frac{1}{2} \cos(2x) \right) + \frac{1}{2} \int e^x \cos(2x) \, dx \]

Затем, интегрируя \( e^x \cos(2x) \), мы получим итоговое решение для исходного интеграла.

Итоговый ответ

Итак, после дальнейших вычислений, получаем итоговый ответ: \[ \int e^x \cos(x) \sin(x) \, dx = e^x \left( -\frac{1}{2} \cos(2x) \right) + \frac{1}{4} e^x \sin(2x) + C \] где \( C \) - произвольная постоянная.

Таким образом, это будет окончательный ответ на данный интеграл.