Question

Решить неравенство : 2^(x+2)-2^(x+3)-2^(x+4) > 5^(x+1)-5^(x+2) Если можно с объяснениями!

Answer 1

 2^(x+2)-2^(x+3)-2^(x+4) > 5^(x+1)-5^(x+2)
 
2²*2ˣ - 2³*2ˣ- 2⁴*2ˣ > 5¹*5ˣ -5²*5ˣ 

4*2ˣ - 8*2ˣ- 16*2ˣ > 5*5ˣ - 25*5ˣ 

2ˣ(4-8-16) > 5ˣ( 5 - 25)

-20* 2ˣ  > - 20* 5ˣ  сокращаем на -20,меняя знак

 2ˣ < 5ˣ  при  х>0

x∈(0;+∞)

Answer 2

Для начала преобразуем данное неравенство:

2^(x+2) - 2^(x+3) - 2^(x+4) > 5^(x+1) - 5^(x+2)

Сначала упростим левую часть неравенства:

2^(x+2) - 2^(x+3) - 2^(x+4) = 2^x * 2^2 - 2^x * 2^3 - 2^x * 2^4 = 4*2^x - 8*2^x - 16*2^x = -20*2^x

Теперь упростим правую часть неравенства:

5^(x+1) - 5^(x+2) = 5^x * 5^1 - 5^x * 5^2 = 5*5^x - 25*5^x = -20*5^x

Таким образом, исходное неравенство принимает вид:

-20*2^x > -20*5^x

Теперь разделим обе части неравенства на -20 и учтем, что деление на отрицательное число меняет знак неравенства:

2^x < 5^x

Это неравенство можно решить, прологарифмировав обе части:

x < log2(5)*x

Далее, делим обе части на x (учитываем, что x > 0):

1 < log2(5)

Так как логарифм числа 5 по основанию 2 больше 1, то неравенство выполняется для всех положительных x.

Таким образом, неравенство 2^(x+2) - 2^(x+3) - 2^(x+4) > 5^(x+1) - 5^(x+2) выполняется для всех положительных x.