Question

Y''-4y'+4y=8x^2-10 y(0)=0; y' (0)=1

Answer 1

Сначала ищем общее решение однородного уравнения. Составим характеристическое ур-ие:

k^2 - 4k + 4 = 0,   (k-2)^2 = 0,  k1 = k2 = 2.

Общее решение однородного ур-ия: у(о.о) = (C1 + C2x)e^2x.

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:

У = Аx^2 + Bx + C.

 Подставим в исходное уравнение:

2A - 8Ax - 4B + 4Ax^2 + 4Bx + 4C = 8x^2 - 10

Составим систему для коэффициентов А,В,С:

4А = 8;

4В - 8А = 0;

2А - 4В + 4С = -10.

Или:

А = 2;

В = 4;

С = 1/2.

Значит частное решение неоднородного уравнения имеет вид:

у(ч.н) = 2x^2 + 4x + 1/2.

Общее решение неоднородного уравнения равно сумме у(о.о) и у(ч.н):

у = (C1 + C2x)e^2x +  2x^2 + 4x + 1/2.

Теперь исходя из начальных условий найдем С1 и С2:

у(0) = С1 + 1/2 = 0,  или С1 = -1/2.

у штрих(0) = 2С1 + С2 + 4 = 1, или С2 = -2.

С учетом найденного ответ будет равен:

 

у = -(0,5 + 2х)e^2x +2x^2 + 4x + 0,5.