Question

Вычислить интеграл от данной функции: 3^(1/x)/x^2

Answer 1

Решение в приложении. Должно быть понятно.

Answer 2

Чтобы вычислить интеграл от функции f(x) = 3^(1/x) / x^2, нужно воспользоваться методом интегрирования по частям.

1. Для начала, представим функцию f(x) в виде произведения двух функций: f(x) = 3^(1/x) * 1/x^2

2. Теперь выберем первую функцию u и вторую функцию dv для метода интегрирования по частям: u = 3^(1/x) - первая функция dv = 1/x^2 dx - вторая функция

3. Найдем производные от выбранных функций: du = (1/x)(ln3)(3^(1/x)) dx - производная первой функции v = -1/x - первообразная второй функции

4. Воспользуемся формулой интегрирования по частям: ∫ f(x) dx = u * v - ∫ v * du

Значит, интеграл от f(x) равен: ∫ (3^(1/x) / x^2) dx = (-1/x)(3^(1/x)) - ∫ (-1/x)(1/x)(ln3)(3^(1/x)) dx

5. Упростим полученное выражение: ∫ (3^(1/x) / x^2) dx = - (3^(1/x)) / x + (ln3) * ∫ (3^(1/x) / x^3) dx

6. Здесь у нас остался еще один интеграл, который также можно вычислить методом интегрирования по частям. Повторяем шаги 2-4 для нового интеграла: выбираем функции u = 3^(1/x) и dv = 1/x^3 dx находим их производные: du = (1/x)(ln3)(3^(1/x)) dx и v = -1/(2x^2)

7. Применяем формулу интегрирования по частям еще раз: ∫ (3^(1/x) / x^3) dx = (-1/(2x^2))(3^(1/x)) - ∫ (-1/(2x^2))(1/x)(ln3)(3^(1/x)) dx

8. Подставляем полученное выражение обратно в основное выражение: ∫ (3^(1/x) / x^2) dx = - (3^(1/x)) / x + (ln3) * (-1/(2x^2))(3^(1/x)) + ∫ (-1/(2x^2))(1/x)(ln3)(3^(1/x)) dx

9. Продолжаем последовательно применять метод интегрирования по частям, пока не останутся интегралы, которые можно вычислить. Здесь возникают сложности, так как интегралы от функций 3^(1/x) не выражаются через элементарные функции. Поэтому, интеграл от данной функции нельзя выразить аналитически. Вместо этого, его можно вычислить численно с использованием методов численного интегрирования, таких как метод прямоугольников, метод тrapezoid, метод Simpson и др.

Итак, интеграл от функции f(x) = 3^(1/x) / x^2 не имеет простой аналитической формулы, но его можно вычислить численно с помощью соответствующих методов численного интегрирования.