Question

Дана функция y=x^2-4x+4a) исследуйте ф-ию на монотонность,если x<=2б) найдите наибольшее и наименьшее значение ф-ии на отрезке [-1.5| 1.5]

Answer 1

А)  $x^{2} -4x+4=(x-2) ^{2}$
при х≤2  функция убывает.
b)  на отрезке [-1,5;1,5]  функция убывает, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.
у(-1,5)=(-3,5)^2=12,25;   наибольшее
y(1,5)=(-0,5)^2=0,25.наименьшее

Answer 2

Давайте рассмотрим данную функцию \( y = x^2 - 4x + 4 \) и выполним анализ на монотонность и нахождение экстремумов на отрезке \([-1.5, 1.5]\).

Анализ монотонности:

1. Нахождение производной: \[ y' = 2x - 4 \]

2. Нахождение точек пересечения с осью X: \[ x^2 - 4x + 4 = 0 \] Это квадратное уравнение имеет один корень \( x = 2 \).

3. Построение таблицы знаков:

\[ \begin{align*} x < 2 & : \quad y' > 0 \quad \text{(положительная производная)} \\ x > 2 & : \quad y' > 0 \quad \text{(положительная производная)} \end{align*} \]

4. Вывод: Функция монотонно возрастает на интервале \((-\infty, 2)\) и монотонно убывает на интервале \((2, +\infty)\). На точке \(x = 2\) происходит изменение направления монотонности.

Нахождение экстремумов:

1. Нахождение критических точек: \[ 2x - 4 = 0 \] Это уравнение имеет единственное решение \( x = 2 \).

2. Исследование второй производной: \[ y'' = 2 \]

3. Определение характера точки: - \( y'' > 0 \): Точка является точкой минимума.

4. Вычисление значений в найденных точках: - В точке \( x = 2 \): \( y = 2^2 - 4 \times 2 + 4 = 0 \)

Вывод:

Итак, на отрезке \([-1.5, 1.5]\) функция имеет минимум в точке \( x = 2 \) со значением \( y = 0 \). Она монотонно возрастает на интервале \((- \infty, 2)\) и монотонно убывает на интервале \((2, +\infty)\).