Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2+1,y=0,X=-1,X=2

Answer 1

Ответ. y= X^2+1, y=x, y=2, x=0;

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций \(y = x^2 + 1\), \(y = 0\), \(x = -1\) и \(x = 2\), нужно разбить эту область на части и вычислить площадь каждой из них.

Давайте рассмотрим каждую границу и определим точки их пересечения:

1. \(y = x^2 + 1\) 2. \(y = 0\) 3. \(x = -1\) 4. \(x = 2\)

Сначала найдем точки пересечения графика \(y = x^2 + 1\) с осью \(x\), полагая \(y = 0\):

\[x^2 + 1 = 0\]

Это уравнение не имеет решений, поэтому график \(y = x^2 + 1\) не пересекается с осью \(x\).

Теперь рассмотрим точки пересечения графика \(y = x^2 + 1\) с осью \(y\), полагая \(x = 0\):

\[y = 0^2 + 1 = 1\]

Таким образом, точка пересечения с осью \(y\) имеет координаты \((0, 1)\).

Теперь определим точки пересечения с вертикальной линией \(x = -1\):

\[y = (-1)^2 + 1 = 2\]

Таким образом, точка пересечения с линией \(x = -1\) имеет координаты \((-1, 2)\).

Аналогично, найдем точки пересечения с линией \(x = 2\):

\[y = 2^2 + 1 = 5\]

Таким образом, точка пересечения с линией \(x = 2\) имеет координаты \((2, 5)\).

Теперь мы можем построить график и определить область между кривой \(y = x^2 + 1\) и осью \(x\) в интервале \([-1, 2]\).

\[ \begin{array}{|c|c|} \hline x & y \\ \hline -1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 2 & 5 \\ \hline \end{array} \]

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, мы можем воспользоваться определенным интегралом:

\[ \text{Площадь} = \int_{-1}^{2} (x^2 + 1) \,dx \]

Вычислим этот интеграл:

\[ \text{Площадь} = \left[ \frac{1}{3}x^3 + x \right]_{-1}^{2} \]

\[ \text{Площадь} = \left( \frac{1}{3}(2)^3 + 2 \right) - \left( \frac{1}{3}(-1)^3 + (-1) \right) \]

\[ \text{Площадь} = \frac{8}{3} + 2 + \frac{1}{3} + 1 = \frac{14}{3} \]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками \(y = x^2 + 1\), \(y = 0\), \(x = -1\) и \(x = 2\), равна \(\frac{14}{3}\).