Question

Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую (x-3)/2=(y+4)/1=(z-2)/-3 и параллельно прямой (x+5)/4=(y-2)/7=(z-1)/2

Answer 1

Для первой прямой имеем направляющий вектор (2, 1, -3)
для второй - (4, 7, 2)
найдем вектор (x, y, 1) перпендикулярный обоим этим векторам.
Очевидно, что скалярное произведение искомого вектора и двух данных должно быть равно 0, т.е.
2x+y = 3
4x+7y = -2
решаем систему и получаем
x=2.3
y=-1,6
таким образом вектор (23, -16, 10) - нормаль к искомой плоскости и ее уравнение выглядит так:
23x - 16y +10z + C = 0
поскольку в условии дано, что плоскость содержит первую прямую, то все точки этой прямой лежат в плоскости, в том числе и образующая точка (3, -4, 2)
подставим ее в уравнение плоскости, получим
23*3 + 16*4 + 10*2 = -С
С = -46 - 64 - 20 = -130

Ответ: 23x - 16y +10z -130 = 0

Answer 2

Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и параллельной другой прямой, нужно воспользоваться следующим методом.

Даны две прямые: 1. \(\frac{x-3}{2} = \frac{y+4}{1} = \frac{z-2}{-3}\) 2. \(\frac{x+5}{4} = \frac{y-2}{7} = \frac{z-1}{2}\)

Обратим внимание, что направляющие векторы прямых (числители у \(x\), \(y\), \(z\)) являются направляющими векторами плоскости. Таким образом, вектор нормали к плоскости будет перпендикулярен направляющим векторам обеих прямых. Найдем вектор нормали \(n\):

1. Направляющий вектор для первой прямой: \(v_1 = (2, 1, -3)\) 2. Направляющий вектор для второй прямой: \(v_2 = (4, 7, 2)\)

Теперь найдем вектор нормали \(n\) как векторное произведение этих двух векторов:

\[n = v_1 \times v_2\]

Для векторного произведения:

\[n_x = (v_{1_y} \cdot v_{2_z} - v_{1_z} \cdot v_{2_y})\] \[n_y = (v_{1_z} \cdot v_{2_x} - v_{1_x} \cdot v_{2_z})\] \[n_z = (v_{1_x} \cdot v_{2_y} - v_{1_y} \cdot v_{2_x})\]

Вычислим:

\[n_x = (1 \cdot 2 - (-3) \cdot 7) = 23\] \[n_y = ((-3) \cdot 4 - 2 \cdot 2) = -14\] \[n_z = (2 \cdot 7 - 1 \cdot 4) = 10\]

Таким образом, вектор нормали \(n\) равен (23, -14, 10). Теперь у нас есть вектор нормали, и мы можем использовать его в уравнении плоскости.

Уравнение плоскости в общем виде выглядит следующим образом:

\[ax + by + cz = d\]

Где \(n = (a, b, c)\) - вектор нормали к плоскости.

Подставим значения:

\[23x - 14y + 10z = d\]

Теперь, чтобы найти константу \(d\), подставим координаты любой точки, через которую проходит плоскость. Для удобства выберем точку, через которую проходит первая прямая, например, (3, -4, 2).

\[23(3) - 14(-4) + 10(2) = d\]

\[69 + 56 + 20 = d\]

\[d = 145\]

Таким образом, уравнение плоскости будет:

\[23x - 14y + 10z = 145\]