Question

Бісектриса тупого кута паралелограма ділить його сторону на відрізки завдовжки 3 см і 5 см, рахуючи від вершини гострого кута. Обчисліть площу паралелограма, якщо його гострий кут дорівнює 60°

Answer 1

Биссектриса образует равносторонний треугольник:
Тупой угол равен 180 - 60 = 120°, половина его 120/2 = 60°, тогда и третий угол равен 60°.
Поэтому боковая сторона равна 3 см.
Площадь параллелограмма равна:
S = a*b*sin α = 3*(3+5)*(√3/2) = 12√3 = 20,78461 см².

Answer 2

Для вирішення цього завдання ми можемо скористатися властивостями бісектрис та паралелограма.

Знання про бісектрису тупого кута паралелограма

У паралелограмі, бісектриса тупого кута ділить протилежну сторону на дві частини, пропорційні до інших двох сторін паралелограма.

Знання про площу паралелограма

Площа паралелограма може бути обчислена за формулою: S = a * h, де a - довжина однієї зі сторін паралелограма, h - висота, опущена на цю сторону.

Розв'язок

1. Нехай сторона, яку бісектриса тупого кута ділить, має довжину b. Тоді перша частина буде мати довжину 3 см, а друга частина - 5 см. 2. За властивістю бісектриси тупого кута паралелограма, відношення довжини першої частини до другої частини дорівнює відношенню довжини інших двох сторін паралелограма. Тому, (b - 3 см) / (b - 5 см) = a / b, де a - довжина іншої сторони паралелограма. Ми можемо спростити це рівняння, помноживши обидві його частини на b, і отримаємо: b - 3 см = a - 5 см. Звідси ми можемо виразити a: a = b - 2 см. 3. Оскільки гострий кут паралелограма дорівнює 60°, то і відповідний йому гострий трикутник є рівнобедреним трикутником. Тому, висота, опущена на сторону b, є бісектрисою гострого кута трикутника, який має гострий кут 60°. 4. За властивістю рівнобедреного трикутника, бісектриса гострого кута ділить основу трикутника на дві рівні частини. Тому, b - 3 см = 5 - (b - 5 см). Ми можемо спростити це рівняння і отримаємо: b - 3 см = 10 - b + 5 см. Звідси ми можемо виразити b: 2b = 18 см, b = 9 см. 5. За отриманими значеннями сторін паралелограма (a = b - 2 = 9 - 2 = 7 см, b = 9 см), ми можемо обчислити його площу за формулою S = a * h. Оскільки бісектриса тупого кута є висотою паралелограма, h = 3 см. Тому, S = 7 см * 3 см = 21 см².

Відповідь

Площа паралелограма дорівнює 21 квадратному сантиметру.