Question

4*sin^2 x+12*cos x-9=0

Answer 1

4(1-cos^2x)+12cosx-9=0
cosx=y,
4-4y^2+12y-9=0
-4y^2+12y-5=0
4y^2-12y+5=0
D=144-80=64=8^2
y1=(12+8)/8=20/8
y2=(12-8)/8=4/8=1/2
cosx=20/8
x - нет корней
cosx=1/2
x=+-pi/3+2pi*n
Ответ: x=+-pi/3+2pi*n

Answer 2

Давайте решим уравнение \(4\sin^2 x + 12\cos x - 9 = 0\).

Сначала, давайте преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества. Мы знаем, что \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), так что мы можем выразить \(\sin^2 x\) через \(\cos x\):

\[4(1 - \cos^2 x) + 12\cos x - 9 = 0.\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\cos x\):

\[4\cos^2 x - 12\cos x + 5 = 0.\]

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью квадратного корня. Для удобства, давайте представим уравнение в виде \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 4\), \(b = -12\), и \(c = 5\). Тогда формула для нахождения корней квадратного уравнения будет:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.\]

Подставим значения:

\[ \cos x = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5}}{2 \cdot 4}.\]

\[ \cos x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 80}}{8}.\]

\[ \cos x = \frac{12 \pm \sqrt{64}}{8}.\]

\[ \cos x = \frac{12 \pm 8}{8}.\]

Теперь у нас два варианта:

1. \(\cos x = \frac{12 + 8}{8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}\). 2. \(\cos x = \frac{12 - 8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\).

Однако значение \(\cos x\) не может превышать 1 по определению косинуса, поэтому второй вариант не подходит. Таким образом, у нас есть только одно допустимое значение \(\cos x\):

\[ \cos x = \frac{5}{2}.\]

Теперь давайте найдем соответствующее значение \(\sin x\), используя тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\):

\[ \sin^2 x + \left(\frac{5}{2}\right)^2 = 1.\]

\[ \sin^2 x + \frac{25}{4} = 1.\]

\[ \sin^2 x = 1 - \frac{25}{4}.\]

\[ \sin^2 x = \frac{4}{4} - \frac{25}{4}.\]

\[ \sin^2 x = -\frac{21}{4}.\]

Однако это значение не имеет реального смысла, так как квадрат синуса не может быть отрицательным. Таким образом, у нас нет решения в действительных числах для данного уравнения.

Таким образом, уравнение \(4\sin^2 x + 12\cos x - 9 = 0\) не имеет решений в действительных числах.