Question

Найти площадь фигуры,ограниченной линиями:y=x, y^2=x

Answer 1

8 в квадрате незнаю правильно или нет

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями \(y = x\) и \(y^2 = x\), мы должны найти точки их пересечения, а затем использовать интеграл для вычисления площади между этими кривыми.

1. Найдем точки пересечения кривых:

Поставим уравнения друг против друга: \(y = x\) и \(y^2 = x\)

Подставим первое уравнение во второе: \((x)^2 = x\)

Решив это квадратное уравнение, получим два решения: \(x = 0\) и \(x = 1\).

Таким образом, точки пересечения кривых \(y = x\) и \(y^2 = x\) - это (0, 0) и (1, 1).

2. Найдем площадь между кривыми с использованием интеграла:

Площадь между кривыми можно найти, интегрируя разницу между верхней и нижней кривыми от одной точки пересечения до другой.

Площадь (\(A\)) можно вычислить следующим образом: \[ A = \int_{0}^{1} (y - y^2) \,dx \]

Здесь \(y = x\) - верхняя кривая, а \(y^2 = x\) - нижняя.

Проведем интегрирование: \[ A = \int_{0}^{1} (x - x^2) \,dx \]

Вычислим этот интеграл:

\[ A = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} \]

Подставим верхний и нижний пределы: \[ A = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) - \left(0 - 0\right) \]

\[ A = \frac{1}{6} \]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми \(y = x\) и \(y^2 = x\), равна \(\frac{1}{6}\) квадратных единиц.