Question

Помогите, пожалуйста, решить задачу: Длина ребра куба ABCDA1B1C1D1 равна 2а. Точка Р- середина отрезка ВС. Найдите: а) расстояние между серединами отрезков В1D и AP; б) угол между прямыми В1D и AP.

Answer 1

Свяжем начало прямоугольной системы координат с точкой В
ось Oy - вдоль ВС
ось Oz - вдоль ВВ₁
ось Ox - вдоль BA
A(1;0;0); B₁(0;0;1); D₁(1;1;1)
уравнение плоскости AB₁D₁: Ax + By + Cz + D = 0
A·x(A) + B·x(A) + C·x(A) + D = 0
A·x(B₁) + B·x(B₁) + C·x(B₁) + D = 0
A·x(D₁) + B·x(D₁) + C·x(D₁) + D = 0
A = -D
C = -D
B = D
-Dx + Dy - Dz + D = 0
AB₁D₁: x - y + z - 1 = 0
середина отрезка ВС₁ - точка T(0;½;½)
d(T, AB₁D₁) = |1·x(T) - 1·y(T) + 1·z(T) - 1|/√(1² + 1² + 1²) = (√3)/3

Answer 2

Давайте рассмотрим задачу шаг за шагом.

Имеется куб ABCDA1B1C1D1, и длина его ребра равна 2a. Точка P - середина отрезка BC.

а) Расстояние между серединами отрезков В1D и AP:

Для начала найдем координаты точек B, C и P. Пусть A(0, 0, 0), тогда B(2a, 0, 0), C(2a, 2a, 0), D(0, 2a, 0). Точка P - середина отрезка BC, поэтому ее координаты будут (2a, a, 0).

Теперь найдем координаты середин отрезков В1D и AP:

1. Середина отрезка В1D. В1 - середина отрезка BC, поэтому координаты B1 будут (2a, a, 0), а D1 - середина отрезка AD, поэтому координаты D1 будут (0, a, 0). Следовательно, середина отрезка В1D будет иметь координаты ((2a + 0)/2, (a + a)/2, (0 + 0)/2), что равно (a, a, 0).

2. Середина отрезка AP. A - начальная точка отрезка AP, а P - конечная. Координаты A(0, 0, 0), P(2a, a, 0). Следовательно, середина отрезка AP будет иметь координаты ((0 + 2a)/2, (0 + a)/2, (0 + 0)/2), что равно (a, a/2, 0).

Теперь найдем расстояние между этими двумя точками. Используем формулу для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты двух точек.

\[d = \sqrt{(a - a)^2 + \left(\frac{a}{2} - a\right)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{0 + \frac{a^2}{4} + 0} = \frac{a}{2}\]

Ответ: Расстояние между серединами отрезков В1D и AP равно \(\frac{a}{2}\).

б) Угол между прямыми В1D и AP:

Для нахождения угла между двумя прямыми используем формулу:

\[ \cos(\theta) = \frac{\vec{V1D} \cdot \vec{AP}}{\|\vec{V1D}\| \cdot \|\vec{AP}\|} \]

где \(\vec{V1D}\) и \(\vec{AP}\) - векторы направления прямых В1D и AP соответственно.

Вектор направления V1D можно получить, вычтя координаты конечной точки из начальной:

\(\vec{V1D} = (a, a, 0) - (a, a, 0) = (0, 0, 0)\)

Вектор направления AP можно получить, вычтя координаты начальной точки из конечной:

\(\vec{AP} = (a, a/2, 0) - (0, 0, 0) = (a, a/2, 0)\)

Теперь вычислим скалярное произведение и длины векторов:

\(\vec{V1D} \cdot \vec{AP} = 0 \cdot a + 0 \cdot \frac{a}{2} + 0 \cdot 0 = 0\)

\(\|\vec{V1D}\| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 0^2} = 0\)

\(\|\vec{AP}\| = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + 0^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}a\)

Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла:

\[ \cos(\theta) = \frac{0}{0 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}a} = 0 \]

Ответ: Угол между прямыми В1D и AP равен 90 градусов, так как косинус угла равен 0.

Таким образом, ответы на оба пункта задачи:

а) Расстояние между серединами отрезков В1D и AP равно \(\frac{a}{2}\).

б) Угол между прямыми В1D и AP равен 90 градусов.