Question

Геометр поставил на окружности несколько точек. Затем он измерил все расстояния между этими точками. Получилось не более 10 различных чисел. Какое наибольшее количество точек он мог поставить?

Answer 1

Чтобы ИЗМЕРИТЬ расстояние между двумя точками, надо провести между ними прямую и измерить длину отрезка между этими точками.
Геометр, расставляя точки на окружности получил вписанный многоугольник.
Формула КОЛИЧЕСТВА диагоналей многоугольника:
K=n*(n-3)/2.
Расположив, к примеру, 5 точек на окружности, он получил шестиугольник с 5 диагоналями, да еще 5 сторон - итого 10 отрезков, которые он измерил.
Предположим, что все отрезки разные.Значит, для получения 10 разных чисел он расставил 5 точек.
Но предположим, что многоугольник получился правильным.
И тогда мы увидим, что РАЗНЫХ чисел у геометра получилось только 2: 1 сторона (все стороны равны) и 1 диагональ (все остальные равны измеренной уже диагонали).
Получилось так потому, что правильный n-угольник имеет n осей симметрии, проходящих через его центр.
Если n - четно, то оси симметрии правильного многоугольника содержат
противоположные вершины.
Если n - нечетно, то осями симметрии правильного многоугольника являются прямые, каждая из которых проходит через вершину многоугольника перпендикулярно противолежащей ей стороне.
Проведем ось симметрии для нашего 5-угольника. Она пройдет через вершину многоугольника перпендикулярно противолежащей ей стороне.
Рассмотрим отрезки по одну из сторон оси симметрии. Это две стороны 5-угольника и диагональ. Стороны равны, значит имеем 2 разных измерения из 10 возможных. Значит геометр может расставить дополнительные точки на окружности.
Предположим, он добавил еще две точки так , чтобы получился правильный 7-угольник, у которого ось симметрии так же пройдет через вершину многоугольника и середину противоположной стороны.
Мы получим 3 разных отрезка по одну из сторон оси симметрии - одну сторону и две разных диагонали.
Итак, построив правильный 7-угольник, мы получили 3 разных отрезка или наоборот, чтобы получить 3 разных числа (отрезка) нам пришлось построить правильный 7-угольник.
Теперь мы можем сказать, что получили формулу для отрезков РАЗНОЙ длины в правильном многоугольнике: О=(n-1)/2, или наоборот,
n=2*O+1 - формулу для определения количества максимально возможных точек на окружности для получения заданного числа разных отрезков (чисел при измерении), где О - максимальное количество РАЗНЫХ по величине отрезков.
Тогда для получения 10 РАЗНЫХ отрезков геометр может расположить на окружности  2*10+1=21 точку, построив ПРАВИЛЬНЫЙ 21-угольник.
И это будет максимальное число точек, так как любое равенство двух отрезков при измерении уменьшает количество разных отрезков на 1.
Ответ: максимальное количество точек на окружности для получения 10 разных чисел (отрезков) равно 21.

Answer 2

Предположим, что геометр поставил \(n\) точек на окружности. Расстояния между всеми парами этих точек будут различными длинами дуг на окружности.

Наибольшее количество различных расстояний между \(n\) точками на окружности можно выразить через формулу: \(\frac{n(n-1)}{2}\). Это количество соответствует всем возможным парам точек, и каждая пара определяет уникальное расстояние.

Из условия задачи известно, что количество различных чисел расстояний между точками не превышает 10. Нам нужно найти такое максимальное \(n\), при котором \(\frac{n(n-1)}{2}\) не превышает 10.

Решим неравенство:

\(\frac{n(n-1)}{2} \leq 10\)

Умножим обе части на 2:

\(n(n-1) \leq 20\)

Разложим выражение:

\(n^2 - n - 20 \leq 0\)

Решим квадратное уравнение:

\(n^2 - 5n + 4n - 20 \leq 0\)

\(n(n-5) + 4(n-5) \leq 0\)

\((n-5)(n+4) \leq 0\)

Из этого неравенства видно, что \(n\) должно быть между -4 и 5 включительно, но так как \(n\) — количество точек, оно должно быть положительным. Следовательно, \(n\) может быть только от 3 до 5.

Таким образом, наибольшее количество точек, которое геометр мог поставить на окружности, чтобы расстояния между ними составляли не более 10 различных чисел, составляет 5.