Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=16-x^2 и осью абсцисс

Answer 1

Найдем пределы интегрирования
16-x²=0
x²=16
x=-4  x=4
S(16-x²)dx=16x-x^3/3|4-(-4)=64-64/3+64-64/3=256/3=85 1/3

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции y = 16 - x^2 и осью абсцисс, нам необходимо найти точки пересечения этой функции с осью абсцисс.

Так как фигура ограничена осью абсцисс, то у нас есть два варианта:

1) Функция y = 16 - x^2 не пересекает ось абсцисс. В этом случае площадь фигуры равна нулю.

2) Функция y = 16 - x^2 пересекает ось абсцисс в точках с координатами (x_1, 0) и (x_2, 0). В этом случае площадь фигуры можно вычислить как интеграл от x_1 до x_2 от модуля функции y = 16 - x^2:

Площадь = ∫[x_1, x_2] |16 - x^2| dx

Для вычисления интеграла разобьем его на два: от x_1 до 0 и от 0 до x_2, так как y = 16 - x^2 имеет "впадину" вокруг точки x = 0.

1. Для x_1 <= x <= 0: Площадь_1 = ∫[x_1, 0] (16 - x^2) dx = [16x - (x^3)/3] [x_1, 0]

2. Для 0 <= x <= x_2: Площадь_2 = ∫[0, x_2] (x^2 - 16) dx = [(x^3)/3 - 16x] [0, x_2]

Теперь заметим, что модуль функции y = 16 - x^2 равен y = x^2 - 16 в интервале от x_1 до 0 и равен y = 16 - x^2 в интервале от 0 до x_2.

Таким образом, площадь фигуры равна: Площадь = ∫[x_1, 0] (x^2 - 16) dx + ∫[0, x_2] (16 - x^2) dx = [(x^3)/3 - 16x] [x_1, 0] + [(16x - (x^3)/3)] [0, x_2] = (x_2^3)/3 - 16x_2 - ((x_1^3)/3 - 16x_1)

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 16 - x^2 и осью абсцисс, составляет ((x_2^3)/3 - 16x_2) - ((x_1^3)/3 - 16x_1).