Question

Найдите экстемумы функции y=1/3x^3-4x

Answer 1

$D(y)=R \\\ y'=x^2-4 \\\ y'=0, \ \ \ x^2-4 =0 \\\ x_1=-2, \ \ x_2=2$

      +            -            +

----------|----------|------------>

            -2           2

х = 2 - точка минимума, у(2)=-16/3- минимум функции.

х = - 2 - точка максимума. у(-2) = 16/3 - максимум функции.

Answer 2

Чтобы найти экстремумы функции \(y = \frac{1}{3}x^3 - 4x\), нужно найти ее производную и приравнять ее к нулю. Экстремумы происходят тогда, когда производная функции равна нулю или не существует.

1. Найдем производную функции \(y\): \[y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3 - 4x\right)\]

Производная каждого члена по отдельности: \[y' = x^2 - 4\]

2. Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение: \[x^2 - 4 = 0\]

Решение этого уравнения: \[x = \pm 2\]

3. Теперь найдем вторую производную для анализа поведения функции в точках, где \(y'\) равна нулю: \[y'' = \frac{d}{dx}(x^2 - 4)\]

Производная: \[y'' = 2x\]

4. Подставим найденные значения \(x\) во вторую производную: \[y''(2) = 4\] \[y''(-2) = -4\]

Положительное значение второй производной означает, что функция выпукла вверх, а отрицательное значение - что функция выпукла вниз.

Итак, у нас есть две точки, где производная равна нулю (\(x = -2\) и \(x = 2\)) и соответствующие значения второй производной (\(y''(-2) = -4\) и \(y''(2) = 4\)). Это говорит нам о том, что у нас есть локальный максимум в точке \(x = -2\) и локальный минимум в точке \(x = 2\).

Таким образом, экстремумы функции \(y = \frac{1}{3}x^3 - 4x\) следующие: - Локальный максимум в точке \((-2, 4)\) - Локальный минимум в точке \((2, -4)\)