Question

Розв'язати нерівності: 1) x^3-3x^2+x+1≥0; 2) (9x^2-12x+4)^5 (4-3x-x^2)/(x^2+2x-8)(x+3)^11≥0; 3) (x^4-2x^2-8)/(x^2+2x+1)^3; 4) x^2+x+12>0.

Answer 1

1) x³-3x²+x+1≥0;
при х=1 1³-3·1²+1+1=0.
значит x³-3x²+x+1 раскладывается на множители и и один из множителей (х-1)
Делим  "углом"
_x³-3x²+x+1  | x-1
  x³-x²
------
  _-2x²+x+1
   -2x²+2x
    --------
         _-x+1
           -x+1
            -----
                0 
(х-1)(х²-2х-1)≥0
Решаем методом интервалов
x²-2x-1=0
D=(-2)²-4·1·(-1)=8
x=(2-2√2)/2=1-√2  или  х=(2+2√2)/2=1+√2

__-___[1-√2]___+____[1]__-__[1+√2]__+__

О т в е т. [1-√2;1]U[1+√2;+∞).

2) (9x²-12x+4)⁵ (4-3x-x²)/(x²+2x-8)(x+3)¹¹≥0;
Раскладываем на множители:
((3х-2)²)⁵(-х+1)(х+4)/(х+4)(х-2)(х+3)¹¹≥0;
(3х-2)¹⁰(-х+1)/(х-2)(х+3)¹¹≥0;
х≠-4
Решаем методом интервалов:

_+__(-4)_+__(-3)__-___[2/3]_-__[1]_+_(2)__-_

О т в е т. (-∞;-4)U(-4;-3)U{2/3}U[1;2).

3) (x⁴-2x²-8)/(x²+2x+1)³<0;
   (x²+2)(x²-4)/(x+1)⁶<0
   (x²+2)(x-2)(x+2)/(x+1)⁶<0

_+__(-2)_-__(-1)____-____(2)_+___

О т в е т. (-2;-1)U(-1;-2).

4) x²+x+12>0.
  
Уравнение х²+х+12=0 не имеет корней, так как  D=1-4·12<0
Парабола у=х²+х+12 расположена выше оси ох, неравенство верно  при любом х
О т в е т. (-∞;+∞).

Answer 2

Давайте розв'яжемо кожну з нерівностей окремо.

1) \(x^3 - 3x^2 + x + 1 \geq 0\)

Для розв'язання цієї нерівності можна скористатися методом інтервалів. Давайте знайдемо критичні точки, тобто значення x, при яких вираз у нерівності дорівнює нулю або не існує.

Розкладемо вираз: \[x^3 - 3x^2 + x + 1 = (x + 1)(x - 1)^2\]

Отже, критичні точки: \(x = -1, x = 1\).

Тепер виберемо тестові точки в кожному з трьох інтервалів, утворених цими критичними точками: \((- \infty, -1)\), \((-1, 1)\), \((1, +\infty)\). Взявши, наприклад, точку \(x = 0\), можемо підставити в \(x^3 - 3x^2 + x + 1\) і отримаємо \(1 \geq 0\).

Таким чином, розв'язок цієї нерівності: \((- \infty, -1] \cup [1, +\infty)\).

2) \((9x^2 - 12x + 4)^5 + \frac{4 - 3x - x^2}{(x^2 + 2x - 8)(x + 3)^{11}} \geq 0\)

Спростимо вираз: \[(9x^2 - 12x + 4)^5 + \frac{4 - 3x - x^2}{(x^2 + 2x - 8)(x + 3)^{11}} \geq 0\]

Тут розв'язок може бути складним через високий ступінь у знаменнику. Зручно використовувати програмне середовище для числового аналізу або числового методу для визначення інтервалів, де нерівність виконується. Це може виконуватися за допомогою чисельних методів, таких як метод дотичних або метод бісекції.

3) \(\frac{x^4 - 2x^2 - 8}{(x^2 + 2x + 1)^3}\)

Спростимо вираз: \[\frac{x^4 - 2x^2 - 8}{(x^2 + 2x + 1)^3} = \frac{(x^2 - 4)(x^2 + 2)}{(x + 1)^6}\]

Критичні точки: \(x = -1, x = 2, x = -2\).

Тепер визначимо знак виразу на кожному інтервалі, утвореному цими точками: \((- \infty, -2)\), \((-2, -1)\), \((-1, 2)\), \((2, +\infty)\). Тестова точка \(x = 0\) дозволяє зрозуміти, що вираз від'ємний на інтервалі \((-2, -1)\) і позитивний на інших інтервалах.

Отже, розв'язок цієї нерівності: \((-2, -1)\).

4) \(x^2 + x + 12 > 0\)

Це квадратична нерівність. Щоб розв'язати її, розкладемо її на множники: \[x^2 + x + 12 = (x + 4)(x - 3)\]

Критична точка: \(x = -4, x = 3\).

Визначимо знак виразу на кожному інтервалі, утвореному цими точками: \((- \infty, -4)\), \((-4, 3)\), \((3, +\infty)\). Тестова точка \(x = 0\) вказує на те, що вираз позитивний на обох інтервалах \((- \infty, -4)\) і \((3, +\infty)\), і від'ємний на інтервалі \((-4, 3)\).

Отже, розв'язок цієї нерівності: \((- \infty, -4) \cup (3, +\infty)\).