Question

А) решить уравнение 2sin^2x-cos2x=2 б) найти все корни этого уравнения на промежутке [-π/2;π/2]

Answer 1

Применены тригонометрические формулы

Answer 2

Конечно, давайте решим уравнение и найдем его корни.

А) Решение уравнения \(2\sin^2x - \cos2x = 2\):

1. Приведение уравнения: Используем тригонометрические тождества для преобразования уравнения: \[2\sin^2x - \cos2x = 2\] \[2(1 - \cos^2x) - (1 - 2\sin^2x) = 2\] \[2 - 2\cos^2x - 1 + 2\sin^2x = 2\] \[2\sin^2x - 2\cos^2x = 1\] \[\sin^2x - \cos^2x = \frac{1}{2}\]

2. Тождество разности квадратов: Воспользуемся тождеством \(\sin^2x - \cos^2x = -\cos(2x)\): \[-\cos(2x) = \frac{1}{2}\]

3. Решение для \(2x\): Решим уравнение для \(2x\): \[\cos(2x) = -\frac{1}{2}\]

4. Нахождение \(x\): Найдем решения для \(x\) на промежутке \([-π/2; π/2]\). Заметим, что \(\cos(2x)\) равно \(-1/2\) в двух точках на этом интервале: \(x = \frac{\pi}{6}\) и \(x = -\frac{\pi}{6}\).

Б) Нахождение всех корней на промежутке \([-π/2; π/2]\):

Уже найденные корни: \(x = \frac{\pi}{6}\) и \(x = -\frac{\pi}{6}\).

На этом промежутке \(\sin x\) и \(\cos x\) могут быть положительными или отрицательными. Таким образом, у нас есть еще две пары корней: - \(\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) при \(x = \frac{\pi}{4}\) - \(\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) при \(x = -\frac{\pi}{4}\)

Таким образом, все корни уравнения на промежутке \([-π/2; π/2]\): \(x = \frac{\pi}{6}\), \(x = -\frac{\pi}{6}\), \(x = \frac{\pi}{4}\), \(x = -\frac{\pi}{4}\).