Question

Числители трёх несократимых дробей пропорциональны числам 1, 2, 5, а знаменатели – соответственно числам 1, 3, 7. Среднее арифметическое этих дробей равно 250/441. Найди меньшую из этих дробей. А) 5/7 Б) 10/21 В) 5/21 Г) 2/3

Answer 1

Дроби имеют вид
$\dfrac{n}{d},~\dfrac{2n}{3d},~\dfrac{5n}{7d}$

Среднее арифметическое:
$\dfrac13\left(\dfrac{n}{d}+\dfrac{2n}{3d}+\dfrac{5n}{7d}\right)=\dfrac nd\cdot\dfrac{1+\frac23+\frac57}{3}=\dfrac nd\cdot\dfrac{21+14+15}{3\cdot3\cdot7}=\dfrac{50}{63}\cdot\dfrac nd=\dfrac{250}{441}$

$\dfrac nd=\dfrac{250}{441}:\dfrac{50}{63}=\dfrac{250\cdot63}{50\cdot441}=\dfrac57$

Так как 2/3 = 1 -2/3 < 5/7 = 1 - 2/7 < 1, то меньшая дробь
$\dfrac23\cdot\dfrac57=\dfrac{10}{21}$

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем представить каждую из трех несократимых дробей в виде числитель/знаменатель. Пусть первая дробь будет a/1, вторая - b/3 и третья - c/7.

Условие говорит нам, что числители трех несократимых дробей пропорциональны числам 1, 2 и 5, а знаменатели пропорциональны числам 1, 3 и 7. Это можно записать следующим образом:

a/1 = 1/2 b/3 = 2/5 c/7 = 5/1

Мы можем использовать эти уравнения, чтобы выразить a, b и c.

a = 1 * 1/2 = 1/2 b = 2 * 3/5 = 6/5 c = 5 * 7/1 = 35/1

Теперь у нас есть значения a, b и c. Мы также знаем, что среднее арифметическое этих трех дробей равно 250/441. Мы можем использовать это, чтобы найти значение дроби.

Среднее арифметическое трех дробей можно найти, сложив их и разделив на 3:

(a/1 + b/3 + c/7) / 3 = 250/441

Подставим значения a, b и c в это уравнение:

((1/2)/1 + (6/5)/3 + (35/1)/7) / 3 = 250/441

Упростим это уравнение:

(1/2 + 6/15 + 5/1) / 3 = 250/441

(1/2 + 2/5 + 35/1) / 3 = 250/441

(5/10 + 4/10 + 175/10) / 3 = 250/441

(184/10) / 3 = 250/441

Теперь, чтобы найти значения дробей, нам нужно разделить 184/10 на 3:

(184/10) / 3 = 61.333

Теперь, чтобы найти наименьшую из этих дробей, мы можем округлить это значение до ближайшего целого числа:

61.333 округляется до 61.

Таким образом, наименьшая из трех дробей будет 61/1, что эквивалентно дроби 61/1.