Question

Найдите сумму всех натуральных трёхзначных чисел которые при делении на 5 лоби остаток 3

Answer 1

Все эти числа образуют арифметическую прогрессию
первый член этой прогрессии  - а₁ = 103 ,  
последний член  - аⁿ = 998  (n - пиши внизу )
d = 5 - разность этой прогрессии
Найдем количество членов этой прогрессии n
аⁿ = а₁ +d(n-1)
998 = 103 +5n -5
5n=998-98
n=900:5
n=180
теперь найдем сумму этих 180 членов прогрессии
S=(a₁+aⁿ)*n/2
S=180(103+998)/2 = 99 090
Ответ: 99 090

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии. Натуральные трёхзначные числа, которые при делении на 5 дают остаток 3, можно представить в виде \(5k + 3\), где \(k\) - натуральное число.

Чтобы найти сумму таких чисел, давайте определим диапазон для \(k\), чтобы получить трёхзначные числа. Трёхзначные числа начинаются с 100 и заканчиваются 999, поэтому:

\[100 \leq 5k + 3 \leq 999.\]

Решим неравенство:

1. Для нижней границы: \[100 \leq 5k + 3.\] Вычитаем 3 из обеих сторон: \[97 \leq 5k.\] Делим на 5: \[19.4 \leq k.\] Так как \(k\) должно быть натуральным числом, возьмем наименьшее целое число, удовлетворяющее этому условию, т.е. \(k = 20\).

2. Для верхней границы: \[5k + 3 \leq 999.\] Вычитаем 3 из обеих сторон: \[5k \leq 996.\] Делим на 5: \[k \leq 199.2.\] Так как \(k\) должно быть натуральным числом, возьмем наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию, т.е. \(k = 199\).

Таким образом, мы рассматриваем все значения \(k\) от 20 до 199 включительно.

Теперь можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии:

\[S = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n),\]

где \(n\) - количество членов прогрессии, \(a_1\) - первый член, \(a_n\) - последний член.

Вычислим:

\[n = 199 - 20 + 1 = 180,\]

\[a_1 = 5 \cdot 20 + 3 = 103,\]

\[a_n = 5 \cdot 199 + 3 = 998.\]

Теперь подставим значения в формулу:

\[S = \frac{180}{2} \cdot (103 + 998) = 90 \cdot 1101 = 99,090.\]

Итак, сумма всех натуральных трёхзначных чисел, которые при делении на 5 дают остаток 3, равна 99,090.