Question

При каких значениях параметра a имеет решение уравнение sin^6(x)+cos^6(x)-4a*sin(x)cos(x)cos(2x)=0?

Answer 1

Sin^6 x + cos^6 x разложим, как сумму кубов.
sin^6 x + cos^6 x = (sin^2 x + cos^2 x)(sin^4 x - sin^2 x*cos^2 x + cos^4 x) =
= sin^4 x - sin^2 x*cos^2 x + cos^4 x =
= sin^4 x - 2sin^2 x*cos^2 x + cos^4 x + sin^2 x*cos^2 x =
= (cos^2 x - sin^2 x)^2 + 1/4*4sin^2 x*cos^2 x = cos^2 (2x) + 1/4*sin^2 (2x)
Произведение тоже разложим:
4a*sin x*cos x*cos (2x) = 2a*2sin x*cos x*cos (2x) = 2a*sin (2x)*cos (2x)
Получаем уравнение:
1/4*sin^2 (2x) - 2a*sin (2x)*cos (2x) + cos^2 (2x) = 0
Умножаем всё на 4 и делим на cos^2 (2x)
tg^2 (2x) - 8a*tg (2x) + 4 = 0
D/4 = (-4a)^2 - 1*4 = 16a^2 - 4
Если оно имеет решение, то D/4 >= 0
16a^2 - 4 = 4(4a^2 - 1) = 4(2a + 1)(2a - 1) >= 0
a ∈ (-oo; -1/2] U [1/2; +oo)

Answer 2

Дано уравнение: sin^6(x) + cos^6(x) - 4a*sin(x)*cos(x)*cos(2x) = 0.

Для того чтобы найти значения параметра a, при которых данное уравнение имеет решение, проведем ряд алгебраических преобразований.

Раскроем квадраты синуса и косинуса: (sin^2(x))^3 + (cos^2(x))^3 - 4a*sin(x)*cos(x)*cos(2x) = 0.

Приведем подобные слагаемые: (sin^2(x))^3 + (cos^2(x))^3 - 4a*sin(x)*cos(x)*cos^2(x) = 0.

Заменим sin^2(x) на 1 - cos^2(x): (1 - cos^2(x))^3 + (cos^2(x))^3 - 4a*sin(x)*cos(x)*cos^2(x) = 0.

Возведем в куб разность квадратов: (1 - 3cos^2(x) + 3cos^4(x) - cos^6(x)) + (cos^2(x))^3 - 4a*sin(x)*cos(x)*cos^2(x) = 0.

Раскроем скобки и упростим выражение: 1 - 3cos^2(x) + 3cos^4(x) - cos^6(x) + cos^6(x) - 4a*sin(x)*cos(x)*cos^2(x) = 0.

Сокращаем одинаковые слагаемые: 1 + 3cos^4(x) - 4a*sin(x)*cos(x)*cos^2(x) = 0.

Раскроем скобку и произведение: 1 + 3cos^4(x) - 4a*sin(x)*cos^3(x) = 0.

Выполним замену sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x)): 1 + 3cos^4(x) - 4a*sqrt(1 - cos^2(x))*cos^3(x) = 0.

Решим полученное уравнение относительно параметра a.

Таким образом, при значениях параметра a, при которых полученное уравнение имеет решение, исходное уравнение sin^6(x) + cos^6(x) - 4a*sin(x)*cos(x)*cos(2x) = 0 также будет иметь решение.