Question

Докажите неравенство, если x>0, y>0, z>0 (1+y/x)(1+z/y)(1+x/z)>(или=)8

Answer 1

Решение смотри в приложении

Answer 2

Нам дано неравенство (1+y/x)(1+z/y)(1+x/z) > (или=) 8 при условии x > 0, y > 0 и z > 0.

Давайте рассмотрим левую часть данного неравенства: (1+y/x)(1+z/y)(1+x/z)

Раскроем скобки и упростим выражение: (1+y/x)(1+z/y)(1+x/z) = (1 + y/x + z/y + x/z + y/x * z/y + y/x * x/z + z/y * x/z + y/x * z/y * x/z)

Сокращаем подобные слагаемые: = (1 + y/x + z/y + x/z + z + x + y)

Далее, учитывая условие x > 0, y > 0 и z > 0, можно заметить, что каждое слагаемое равно или больше 1, так как каждое из чисел (x, y, z) положительное.

Значит, сумма всех слагаемых будет больше или равна 4.

Итак, мы доказали, что (1+y/x)(1+z/y)(1+x/z) > (или=) 8 при условии x > 0, y > 0 и z > 0.

Это можно также объяснить следующим образом: Если x, y и z - положительные числа, то среднее геометрическое чисел 1+x/z, 1+y/x, 1+z/y будет больше или равно 1. А среднее арифметическое этих чисел, по свойствам средних, будет больше или равно среднему геометрическому. Так как три числа слева в сумме дают 2. Это значит, что их произведение будет больше или равно 8, что соответствует нашему неравенству.