Question

1*1! +2*2! +...+n*n! =(n+1)! -1 помогите решить через индукцию

Answer 1

Ответ на фотке..............

Answer 2

Чтобы решить данное уравнение через индукцию, давайте разобьем его на две части и рассмотрим каждую из них отдельно.

Часть 1: 1 * 1! + 2 * 2! + ... + n * n!

Для начала, давайте выразим n-ый член этой суммы в виде факториала: n * n! = (n + 1 - 1) * n! = (n + 1)! - n!

Теперь мы можем переписать исходное уравнение следующим образом: 1 * 1! + 2 * 2! + ... + n * n! = (n + 1)! - n! + (n)! - (n - 1)! + ... + 2! - 1!

Часть 2: (n + 1)! - 1

Теперь давайте рассмотрим вторую часть уравнения. Мы можем заметить, что (n + 1)! - 1 представляет собой факториал числа (n + 1) минус 1.

Доказательство через индукцию:

1. Базовый случай: Проверим, что уравнение выполняется для n = 1. - Левая часть: 1 * 1! = 1 - Правая часть: (1 + 1)! - 1 = 2! - 1 = 2 - 1 = 1 - Левая часть равна правой части, уравнение выполняется для n = 1.

2. Предположение индукции: Предположим, что уравнение выполняется для некоторого k, то есть: 1 * 1! + 2 * 2! + ... + k * k! = (k + 1)! - 1

3. Индукционный шаг: Докажем, что уравнение выполняется для n = k + 1. - Левая часть: 1 * 1! + 2 * 2! + ... + k * k! + (k + 1) * (k + 1)! = (k + 1)! - 1 + (k + 1) * (k + 1)! = (k + 1)! - 1 + (k +