Question

Срочно! 2sin^2x=cosx+1

Answer 1

Ниже фото с решение.

Answer 2

Конечно, рассмотрим уравнение \(2\sin^2(x) = \cos(x) + 1\).

Начнем с тождества \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\), которое является основным тригонометрическим соотношением. Заметим, что \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\). Теперь подставим это в наше уравнение:

\[2(1 - \cos^2(x)) = \cos(x) + 1\]

Раскроем скобки:

\[2 - 2\cos^2(x) = \cos(x) + 1\]

Теперь перенесем все члены в левую часть уравнения:

\[2\cos^2(x) + \cos(x) - 1 = 0\]

Теперь проведем замену: \(u = \cos(x)\), тогда уравнение станет квадратным:

\[2u^2 + u - 1 = 0\]

Решим это уравнение квадратным способом или через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac\] \[D = 1 + 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9\]

\[u = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\] \[u = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4}\] \[u = \frac{-1 \pm 3}{4}\]

Таким образом, получаем два значения \(u\):

\[u_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\] \[u_2 = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1\]

Теперь вернемся к подстановке \(u = \cos(x)\):

\[u_1 = \frac{1}{2} = \cos(x)\] \[u_2 = -1 = \cos(x)\]

Значение \(\cos(x) = \frac{1}{2}\) соответствует углу \(\frac{\pi}{3} + 2\pi n\) или \(\frac{5\pi}{3} + 2\pi n\) (где \(n\) - целое число), а значение \(\cos(x) = -1\) соответствует углу \(\pi + 2\pi n\).

Итак, решения для \(x\) будут:

1. \(x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n\) или \(x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n\) для \(\cos(x) = \frac{1}{2}\) 2. \(x = \pi + 2\pi n\) для \(\cos(x) = -1\)

Здесь \(n\) - целое число, позволяющее учесть все возможные углы, удовлетворяющие уравнению.